АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Теорема Жордана

Читайте также:
  1. S-M-N-теорема, приклади її використання
  2. Внешние эффекты (экстерналии). Теорема Коуза.
  3. Внешние эффекты, их виды и последствия. Теорема Коуза
  4. Вопрос 1 теорема сложения вероятностей
  5. Вопрос 24 Теорема Остроградского-Гаусса для электрического поля в вакууме
  6. Вопрос. Теорема Котельникова (Найквиста)
  7. Второй закон термодинамики. Энтропия. Закон возрастания энтропии. Теорема Нернста. Энтропия идеального газа.
  8. Гранична теорема Пуассона
  9. Дискретизація сигналу – теорема відліків (Котельникова)
  10. Друга теорема економіки добробуту та її значення
  11. Друга теорема розвинення
  12. Заняття 3. Потік вектора напруженості електричного поля. Теорема Гауса

Каждая замкнутая жорданова кривая делит плоскость на две различные области, для которых она является общей границей.

2. Понятие комплексного интегрирования.Пусть - спрямляемая кривая и - функция, определенная и непрерывная на .

Так как криволинейные интегралы

,

существуют, то существует и выражение вида

. (4.3.1)

Этот интеграл называют комплексным интегралом.

Из (4.3.1) следует, что на интегралы от функций комплексного переменного распространяются обычные свойства криволинейных интегралов второго типа:

1) (4.3.2)

Здесь через обозначается кривая, отличающаяся от только направлением обхода.

2) (4.3.3)

Здесь - дуги, получающиеся при каком-либо разбиении кривой на части, причем начало дуги совпадает с началом кривой , начало дуги - с концом дуги и конец дуги - с концом кривой .

3) (4.3.4)

Здесь - функции, определенные и непрерывные на , а - комплексные постоянные.

4) Если - кусочно-гладкая кривая, то

(4.3.5)

5) , (4.3.6)

где - длина кривой . Чтобы получить это неравенство, достаточно заметить, что

и перейти к пределу.

Все перечисленные свойства являются точными аналогами соответствующих свойств интегралов от действительных функций.

Однако необходимо отметить, что одно из свойств определенных интегралов от действительных непрерывных функций (так называется первая теорема о среднем значении) не имеет места для определенных интегралов от комплексных непрерывных функций даже в том случае, если ограничиться интегрированием вдоль отрезка действительной оси.

3. Формула Римана-Грина.Как известно, формула Грина

(4.3.7)

где - внутренность замкнутой жордановой кривой , выводится обычно при следующих предположениях:

а) любая прямая, параллельная координатной оси, пересекает не более, чем в двух точках (исключения допускаются только для двух крайних положений в направлении каждой оси, где возможно пересечение по прямолинейному отрезку);

б) функции непрерывны в замкнутой области .

В формуле (4.3.7) криволинейный интеграл берется в положительном направлении, то есть в направлении против часовой стрелки.

Имеет место

Утверждение. Пусть - внутренность замкнутой жордановой кусочно-гладкой кривой и пусть действительная и мнимая части и функции непрерывны и обладают в замкнутой области непрерывными частными производными первого порядка. Тогда



(4.3.8)

Действительно, в силу формулы (4.2.2),(4.3.1) и (4.3.7) имеем

(4.3.9)

Формулу (4.3.8) называют формулой Римана-Грина.

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 |



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)