АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Теорема Коши

Читайте также:
  1. S-M-N-теорема, приклади її використання
  2. Внешние эффекты (экстерналии). Теорема Коуза.
  3. Внешние эффекты, их виды и последствия. Теорема Коуза
  4. Вопрос 1 теорема сложения вероятностей
  5. Вопрос 24 Теорема Остроградского-Гаусса для электрического поля в вакууме
  6. Вопрос. Теорема Котельникова (Найквиста)
  7. Второй закон термодинамики. Энтропия. Закон возрастания энтропии. Теорема Нернста. Энтропия идеального газа.
  8. Гранична теорема Пуассона
  9. Дискретизація сигналу – теорема відліків (Котельникова)
  10. Друга теорема економіки добробуту та її значення
  11. Друга теорема розвинення
  12. Заняття 3. Потік вектора напруженості електричного поля. Теорема Гауса

Понятие неопределенного интеграла имеет смысл только для аналитических функций. Пусть функция аналитична в области и пусть в этой области определена аналитическая функция , причем . Тогда функцию будем называть неопределенным интегралом (или первообразной) функции . Для неопределенного интеграла будем использовать обозначение

Понятие неопределенного интеграла от аналитической функции имеет смысл главным образом потому, что определенный интеграл от аналитической функции не зависит от пути интегрирования, и определенный интеграл можно выразить через определенный интеграл с переменным верхним пределом. Именно, справедлива следующая фундаментальная теорема, носящая название теоремы Коши:

Основная теорема Коши.Пусть - конечная односвязная область и пусть функция однозначна и аналитична в этой области. Если - спрямляемая кривая с началом в точке и концом в произвольной точке , лежащая в области , то интеграл

(4.4.1)

не зависит от выбора пути интегрирования, а зависит исключительно от начальной и конечной точки этого пути. Считая точку фиксированной, можно рассматривать интеграл (4.4.1) как однозначную функцию верхнего предела . Эта функция аналитична в области , причем ее производная равна .

Эта теорема при дополнительных ограничениях, когда непрерывна в области , а есть жорданова кусочно-гладкая кривая, принадлежащая области и соединяющая точку с произвольной точкой области , легко доказывается, опираясь на теоремы о криволинейных интегралах второго типа от действительных переменных. Однако в данной теореме предполагается только существование во всех точках области , а является спрямляемой кривой и поэтому, доказательство наиболее существенной части основной теоремы Коши опирается на следующее утверждение:

Интегральная теорема Коши.Если функция однозначна и аналитична в конечной односвязной области , то ее интеграл вдоль любого замкнутого спрямляемого контура , лежащего в области , равен нулю:

.

Доказательство этой теоремы, не предполагающее непрерывности , впервые было дано Э. Гурса и затем упрощено А. Прингхеймом; оно имеется во многих руководствах по теории аналитических функций.

Теперь, опираясь на интегральную теорему Коши, перейдем к доказательству основной теоремы Коши.



Из интегральной теоремы Коши следует, что интегралы от функции , однозначной и аналитической в односвязной области , вдоль любых двух спрямляемых кривых и , лежащих в области , с общим началом в точке и концом в произвольной точке имеют равные значения. Действительно, спрямляемая кривая является замкнутой и, следовательно,

,

откуда

Итак, значение интеграла от аналитической функции не зависит от той кривой, по которой производится интегрирование (от пути интегрирования), а зависит исключительно от начальной и конечной точек этой кривой. По этой причине для обозначения интеграла можно использовать символ

,

опуская указание на путь интегрирования и отмечая только начальную и конечную точки и .

Так как фиксированная, то интеграл этот представляет собой однозначную функцию от

.

Остается доказать, что функция является аналитической функцией в области , причем ее производная равна подынтегральной функции .

Пользуясь непрерывностью функции (непрерывность функции является следствием ее аналитичности), построим - окрестность произвольной точки области так, чтобы, во-первых, эта окрестность принадлежала области , а, во-вторых, чтобы для любой ее точки выполнялось неравенство

.

Обозначим какую-нибудь спрямляемую кривую, соединяющую и внутри области , и через прямоугольный отрезок, соединяющий точку с произвольной точкой -окрестности. При достаточно малом любую спрямляемую кривую, соединяющую точку с точкой , можно считать прямолинейным отрезком. Точка может находиться и на .

Стало быть, для всех точек , то есть для всех точек , для которых , где - длина прямолинейного отрезка , а - радиус окружности, в силу непрерывности функции в точке , выполняется соотношение

(4.4.2)

где при и, следовательно, при .

Для отношения в силу формулы (4.3.3) имеем

(4.4.3)

В дальнейшем для доказательства достаточно потребовать только лишь непрерывность функции в - окрестности и выполнение неравенства для любой ее точки .

Подставляя (4.4.2) в (4.4.3) и замечая, что , с учетом формулы (4.3.6), находим

 

Отсюда ввиду того, что при получаем

.

Основная теорема Коши доказана.

Следствие 1. Если функция аналитична в односвязной области , то ее неопределенный интеграл может быть представлен так:

,

где - произвольная комплексная постоянная.

Следствие 2. Если − произвольная первообразная аналитической функции , то

,

откуда при , где − фиксированная точка, получаем

.

Эту формулу называют формулой Ньютона-Лейбница.

Замечание. В некоторых книгах интегральная теорема Коши формулируется так:

Если функция аналитична в ограниченной области с кусочно-гладким жордановым контуром и функции и непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в , то

Доказательство. Очевидно, все условия Утверждения в §4.3 соблюдены и, следовательно, имеет место формула Римана-Грина

Для аналитических функций двойной интеграл исчезает, так как .

Теорема доказана.

В интегральной теореме Коши речь идет об интеграле по контуру , целиком лежащем у внутри области аналитичности функции, между тем, часто приходится рассматривать интегралы вдоль кривых, на которых функция, оставаясь непрерывной, перестает быть аналитичной. Оказывается, интегральная теорема Коши остается в силе и для этого случая:

Теорема 1(вторая формулировка теоремы Коши). Если функция аналитична в области , ограниченной жордановой спрямляемой кривой , и непрерывна в , то интеграл от функции по равен нулю:

Для справедливости теоремы 1 существенную роль играет предположение об односвязности области .

Для многосвязных областей имеет место следующий вариант этой теоремы:


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 |



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.008 сек.)