Методичні вказівки. Основні співвідношення до виконання другої частини наведені в літературі: [6-11]

Основні співвідношення до виконання другої частини наведені в літературі: [6-11].

Одним з найважливіших практичних розділів статистичної радіотехніки є можливість розробки алгоритмів виявлення корисних сигналів на фоні завад, та оцінити ефективність роботи.

Задача виявлення сигналів полягає у прийнятті однозначного рішення: або сигнал є (рішення ), або сигналу немає (рішення ).

Ефективність роботи алгоритмів виявлення оцінюється рядом характеристик, до числа яких відносять залежності ймовірностей правильного виявлення, помилкової тривоги і пропуску сигналу від вихідних даних задачі. Перша залежність розраховується як функція відношення сигнал / шум:

(16)

де і - потужності (дисперсії) сигналу і завади.

Найважливішою характеристикою алгоритму виявлення є його ефективність,яка оцінюється пороговим сигналом.

Пороговим сигналом називається те мінімальне відношення сигнал / шум за потужністю , яке при фіксованому обсязі вибірки і заданої ймовірності помилкової тривоги забезпечує необхідне значення ймовірності правильного виявлення .

Значення , і визначаються характером завдання, зокрема, в задачах радіолокаційного виявлення зазвичай прагнуть забезпечити

, ,

Розглянемо алгоритм виявлення з накопиченням відліків огинаючої випадкового процесу на прикладі задачі виявлення ідеального сигналу на фоні нормального некорельованого шуму. Структурна схема виявлення показана на рис.1.4

Рис.1.4. Структурна схема параметричного детектора

На вхід детектора огинаючої за відсутності корисного сигналу () надходить вузькополосний випадковий процес, який представляє собою стандартний (гаусівський) шум з математичний очікуванням і має щільність розподіл ймовірності виду:

, (17)

де - дисперсія (потужність) шуму. При наявності на вході, детектора корисного сигналу () з математичним очікуванням щільність розподілу адитивної суміші сигналу і шуму також має нормальний розподіл:

(18)

де - дисперсія (потужність) адитивної суміші сигналу і шуму, - потужність сигналу (потужністю інформативного сигналу виступає його амплітуда).

При виведенні формули (18) використана теорема складання дисперсій: дисперсія суми некорельованих випадкових велич дорівнює сумі дисперсій доданків. Крім того, відомо, що сума нормальних процесів також розподілена за нормальним законом. Розподіл (18) зручно записати у вигляді

, (19)

де - відношення огинаючої потужності сигналу до потужності завади.

На виході детектора виділяється огинаюча вхідного випадкового процесу. Відомо, що щільність розподілу обвідної нормального випадкового процесу при лінійному детектуванні описується законом Релея:

при відсутності сигналу

(20)

і при наявності сигналу

(21)

Огинаюча випадкового процесу надходить на дискретизатор за часом, на виході якого формуються дискретні , відліки амплітуди яких дорівнюють миттєвим значенням огинаючої. Відліки огинаючої визначаються частотою дискретизації . Отримані відліки надходять на накопичувач, який здійснює підсумовування поточних відліків. Вихідна напруга , накопичувача в цьому випадку, дорівнює:

(22)

Накопичена сума порівнюється з розрахованим порогом прийняття рішення .

Якщо в результаті порівняння значення суми виявиться більше , то приймається рішення про наявність сигналу (), в іншому випадку - альтернативне рішення (), тому що вид рішення залежить від виконання умови

(23)

Розглянемо задачу оцінки ефективності детектора по схемі рис. 1. Накопичена за вибіркою обсягом сума (22) називається перевірочною статистикою.

Згідно з центральною граничною теоремою, якщо - це незалежні випадкові величини, то при необмеженому збільшенні - закон розподілу суми цих величин наближається до нормального. На практиці при закон розподілу суми вважається нормальним. При малих розподіл суми підчиняється закону Ерланга.

На підставі центральної граничної теореми можна записати вираз для щільності розподілу перевірочної статистики

(24)

У формулі (24) і - математичне очікування і дисперсія статистики:

, (25)

і - математичне очікування і дисперсія дискретних релеївських відліків рівні:

при відсутності сигналу

, (26)

і при наявності сигналу

, (27)

На рис. 1.5 показані криві розподілу відліків огинаючої процесу за відсутності та за наявності сигналу.

Рис.1.5. Криві розподілу відліків огинаючої процесу за відсутності та за наявності сигналу

На рис. 1.6 – відповідні криви розподілу перевірочної статистики . Для прийняття рішення про те, що на вході детектора є корисний сигнал, необхідно, щоб випадкова величина перевищила поріг .

Рис.1.6. Криві розподілу перевірочної статистики Z

Значення порогу при виявлення сигналів вибирають при розрахунках відповідно до критерію Неймана-Пірсона так, щоб ймовірність перевищення його статистикою за відсутності сигналу була б не більш наперед заданої. Ця ймовірність називається ймовірністю помилкової тривоги (помилка 1 роду) (див. мал. 1.6)

(28)

Підставивши формулу (22) у формулу (28), після спрощення отримаємо

де - табульований інтеграл ймовірності.

При заданому значенні ймовірності помилкової тривоги значення порогу вирішенні може бути знайдено за допомогою таблиць з рівняння (28).

Вірогідність правильного виявлення сигналу (див.мал.1.6) визначається виразом:

рівним з урахуванням формули (22)

Для оцінки якості функціонування параметричного алгоритму виявлення сигналу побудуємо значення ймовірності правильного виявлення сигналу від відношення сигнал/шум . Характеристики правильного виявлення для різних обсягів вибірки показані на рис.1.7.

З графіків видно, що задана ймовірність правильного виявлення при збільшенні обсягу накопичення може бути досягнута при меншому значенні відношенні сигнал/шум .

Іншими словами, при заданому збільшення забезпечує збільшення ймовірності правильного виявлення сигналів на фоні шумів.

Рис.1.7.Характеристиктики виявлення D(b) в залежності від співвідношення

сигнал/шум і обсягів вибірки

Поиск по сайту: