АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Упражнения. Решить дифференциальные уравнения:

Читайте также:
  1. F. Расслабляющие упражнения
  2. I. СТРОЕВЫЕ УПРАЖНЕНИЯ
  3. III. Задачи и упражнения
  4. АКРОБАТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ
  5. АКРОБАТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ
  6. Арт-терапия - упражнения (практика)
  7. Аэробные упражнения
  8. Беговые упражнения
  9. Биоэнергетические упражнения по установлению связи с землей
  10. БРОСКОВЫЕ УПРАЖНЕНИЯ
  11. Вводные упражнения
  12. Вводные упражнения — вводные положения

 

Решить дифференциальные уравнения:


11.1 y’= ; 11.2 y’= ;

11.3 y’= - ; 11.4 xy’-y=x²;

11.5 xyy’=1-x²; 11.6 y’ tgx=y;

 


Однородные дифференциальные уравнения

 

Однородной функцией измерения n называется функция f (x;y), такая, что

 

f (λx; λy)= λⁿ f (x;y), где λ € R.

Уравнение вида

P(x;y)dx + Q(x;y)dy = 0 (11.5)

 

называется однородным, если P(x;y) и Q(x;y)- однородные функции одного измерения, или ДУ вида:

= f (x;y) (11.6)

 


называется однородным, если f (x;y) – однородная функция нулевого измерения

Однородное ДУ может быть приведено к виду = φ (y/x). С помощью подстановки у = tx однородное уравнение приводится к ДУ с разделяющимися переменными.

 

Пример

Найти общие интегралы ДУ

 

11.7 =


Решение Функция f (x;y)= является однородной функцией нулевого измерения. Действительно, f (λx; λy)= = - = - = f (x;y).

 

Замена переменных: у=tx y’=t’x+t x’ y’ = t’x+t

Выражения у и у’ через t и х подставляем в исходное уравнение, получаем

 

t’x + t = , или t’x= -t -1 – t; t’x= -1-2t

 

ДУ с разделяющими переменными; разделяя их, имеем

 

 

, где t’ = ,

Интегрируем последнее ДУ:

 

, , ,

 

перенесли ln C в левую часть, использовали свойства логарифмов. Далее:

 

; или ;

 

Возвращаемся к переменной у

;

 

- общий интеграл однородного уравнения.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)