АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Примеры. Решение. 1 способ (метод Лагранжа вариации произвольной постоянной)

Читайте также:
  1. Булевы функции. Способы задания. Примеры.
  2. Вопрос: Паблик рилейшнз в туризме. Примеры
  3. Евклидова пространства. Примеры евклидовых пространств.Простейшие свойства евклидовых пространств.
  4. Интегральные микросхемы регистров (примеры)
  5. Исторические примеры работы циклов 3, 7, 9, 12, 36
  6. Классификация потерь и их примеры
  7. Классификация экономико-математических моделей. Примеры.
  8. КЛИНИЧЕСКИЕ ПРИМЕРЫ
  9. КЛИНИЧЕСКИЕ ПРИМЕРЫ
  10. КЛИНИЧЕСКИЕ ПРИМЕРЫ (продолжение)
  11. Конструкции колес (примеры)
  12. Контрольные примеры

Найти общее решение ЛНДУ

 

11.12 (11.11)

Решение. 1 способ (метод Лагранжа вариации произвольной постоянной)

Интегрируем сначала соответствующие (1.9) ЛОДУ

 

(11.12)

 

ДУ с разделяющимися переменными. Разделяем их:

 

;

Интегрируем:

, откуда

 

у=Сх (11.13)

 

- общее решение ЛОДУ (11.12). Общей интеграл ЛНДУ (11.11) находим в виде (11.13), но полагая С=С(х) – неизвестная функция от х, то есть:

 

у = С(х)х (11.14)

 

Найдем С(х).

Дифференцируем

 

= x + C ;

 

= x + C; (11.15)

 

Подставляем (11.14) и (11.15) в (11.11).

 

x + C - = x, (11.16)

 

откуда x = x, или = 1, тогда

 

интегрируем, , получаем

 

С(х) = х + С1, (11.17)

 

где С1 – произвольная постоянная.

 

Подставляем (11.17) в (11.14)

 

у = (х + С1) х - общее решение ЛНДУ (11.11)

 

2 способ (метод Бернулли: находим у в виде произведения двух функций).

Итак, пусть

 

y= u(x)v(x) (11.19)

В дальнейшем аргумент х опускаем. Находим производную:

 

= v+u (11.20)

Выражения (11.19) и (11.20) подставляем в (11.11)

 

v+u - = х,

группируем члены, выносим общий множитель за скобки:

v+u( - )= х (11.21)

Неизвестную функцию v(x) находим из условия

 

- = 0 – ДУ с разделяющимися переменными; интегрируем его:

 

; ; ; , полагаем С = 0,

тогда

v(x) = x (11.22)

Найденную функцию v(x) в виде (11.20) подставляем в (1.21), учитывая х 0

 

x = x = 1 u(x) = x + С1 (11.23)

Итак, функции u(x) и v(x) найдены, подставляем их выражения (11.22)и (11.23)в (11.19),

Получаем неизвестную функцию

 

y(x) = (x + С1) x (11.24)

- общее решение ЛНДУ (11.11). Сравниваем (11.24)и (11.16)


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)