АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛОДУ)

Читайте также:
  1. A) линейные
  2. I I. Тригонометрические уравнения.
  3. I Классификация кривых второго порядка
  4. II ОБЩИЕ НАЧАЛА ПУБЛИЧНО-ПРАВОВОГО ПОРЯДКА
  5. II. САКРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ: МЕТАФОРА УНИВЕРСАЛЬНОГО ПОРЯДКА
  6. IV.1. Общие начала частной правозащиты и судебного порядка
  7. V2: ДЕ 11 - Векторные пространства. Линейные операции над векторами
  8. V2: ДЕ 4 – Линейные отображения. Линейные операции над матрицами
  9. V2: ДЕ 5 - Линейные отображения. Умножение матриц
  10. V2: ДЕ 53 - Способы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
  11. V2: ДЕ 54 - Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
  12. V2: ДЕ 57 - Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения

Линейное однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

 

+ p + qy = 0, (11.53)

 

где p и q- действительные числа.

Можно доказать, что если y1(x) и y2(x) – линейно независимые*) частные решения ЛОДУ (2.13), то общее решение этого уравнения является их линейной комбинацией

 

y = C1y1(x) + C2y2(x), (11.54)

 

где С1 и С2 – произвольные постоянные числа.

Частные решения можно найти в виде y = (метод Эйлера), где λ – действительное число.

Подставим y = , y’ = λ и = λ² в ЛОДУ (11.53), сократим , получим

 

λ² + pλ + q = 0 - (11.55)

 

характеристическое уравнение ЛОДУ (11.53).

Частные решения зависят от вида корней уравнения (11.53)

 

1) Если D = p² - 4q>0, то (11.55) имеет два действительных различных корня λ1 λ2, им соответствуют частные решения

 

y1(x) = и y2(x) = (11.56)

 

Можно доказать, что функции(11.56) линейно независимы, тогда общее решение ЛОДУ (11.53) имеет вид

 

y = C1 + C2 (11.57)

 

2) Если D = 0, то λ1=λ2 = λ, с качестве частных решений принимают линейно независимые функции

 

y1(x) = и y2(x)= x , (11.58)

 

Общее решение:

 

y = C1 + C2 , или

 

y = (C1+ C2x) (11.59)

 

3) Если D<0, то корни характеристического уравнения (11.55) комплексно- сопряженные

 

λ1,2 = , где

 

Линейно независимые частные решения:

 

y1(x) = sin βx; y2(x)= cos βx. (11.60)

 

Общее решение:

y = (C1sin βx + C2cos βx). (11.61)

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)