АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Ортогональный линейный оператор

Читайте также:
  1. XIV. ОПЕРАТОРЫ ЯЗЫКА ПАСКАЛЬ
  2. Б) Непосредственный руководитель (линейный менеджер).
  3. Б1 2. Линейный оператор в конечномероном пространстве, его матрица. Характеристический многочлен линейного оператора. Собственные числа и собств векторы.
  4. Билет 1. Понятие туроператорской деятельности.
  5. Билет 11. Договор между инициативным и рецептивным туроператорами.
  6. Билет 13 Угол между 2 мя прямыми , условия параллельности и перпендикулярности. Преобразование линейного оператора при переходе к новому базису
  7. Билет 13. Линейные операторы. Матрица линейного оператора.
  8. Билет 15. Договор комиссии между туроператором и турагентом.
  9. Билет 27 Ортогональный оператор и его матрица в ортонормированном базисе
  10. Билет 27. Жорданов базис и жорданова матрица линейного оператора в комплексном пространстве.
  11. Билет 32. Сопряженный оператор. Существование и единственность. Матрица сопряженного оператора.
  12. Билет 35. Эрмитовы операторы и эрмитовы матрицы. Эрмитого разложение линейного оператора.

 

Определение. Линейный оператор j евклидова пространства Е называется ортогональным, если для любых векторов х и у из Е

(j х,j у) = (х, у). (1)

Заметим, что ортогональный оператор j можно определить с помощью сопряженного оператора j* как такой оператор, для которого

j* = j-1. (2)

В самом деле, записав условие сопряженности операторов j и j* для векторов х и j у, получим (j х,j у) = (х,j*j у), откуда видим, что равенство (1) может быть выполненным для оператора j в том и только в том случае, когда j* = j-1.

Отметим простейшие следствия из определения.

Следствие 1. Если j - ортогональный оператор, то образы всех векторов любого ортонормированного базиса образуют ортонормированный базис.

Действительно, если е 1,…, е п - ортонормированный базис, а j е 1,…,j е п – образы векторов этого базиса, то (j е i,j e j) = (e i, e j) = d ij, i,j =1,2,… n, что и требовалось доказать.

Следствие 2. Матрица ортогонального оператора в любом ортонормированном базисе ортогональна.

Если Аj - матрица оператора j в ортонормированном базисе е 1,…, е п, то ее можно считать матрицей перехода от ортонормированного базиса е 1,…, е п к ортонормированному базису j е 1,…,j е п и, следовательно, она ортогональна.

Следствие 3. Произведение ортогональных операторов является ортогональным оператором.

Если операторы j и y ортогональны, то (jy х, jy у) = (y х,y у) = = (х, у).

Теорема 1. Линейный оператор ортогонален тогда и только тогда, когда длина любого вектора равна длине его образа.

Необходимость условия следует из (1) при у = х, так как из равенства |j х |2 = | х |2 сразу получаем, что |j х | = | х |.

Достаточность. Пусть дано, что для произвольного вектора z справедливо |j z | = | z |. Положим z = x + y, где х, у - любые векторы из Е. Тогда |j(х + у)|2 = | х+у |2, или, что то же самое, (j х+ j у,j х+ j у) = = (х+у, х+у). Используя свойства скалярного произведения и определение длины, перепишем эти равенства в виде

|j х |2 + 2(j х,j у) + |j у |2 = | х |2 + 2(х, у) + | у |2. (3)

Так как в этом равенстве |j х | = | х |, а |j у | = | у |, то (j х,j у) = (х, у).

Теорема 2. Если линейный оператор j отображает хотя бы один ортонормированный базис в ортонормированный базис, то оператор j – ортогональный.

Доказательство. Пусть е 1,…, е п - такой ортонормированный базис, который отображается в ортонормированный j е 1,…,j е п. Возьмем два произвольных вектора

х = х 1 е 1+…+ хп е п и у = у 1 е 1 +…+ уп е п, (4)

тогда

j х = х 1j е 1+…+ хп j е п и j у = у 1j е 1+…+ уп j е п. (5)

Так как базисы e i, i = 1,…, n и j e i, i = 1,…, n - ортонормированные, то по теореме 3 § 2 данной главы (х, у) = х 1 у 1 +…+ хпуп и (j х,j у) = = х 1 у 1+…+ хпуп, и потому (j х,j у) = (х, у).

Теорема 3. Если матрица линейного оператора j ортогональна хотя бы в одном ортонормированном базисе, то оператор j ортогонален.
Доказательство. Пусть линейный оператор j в данном ортонормированном базисе е 1,…, е п имеет ортогональную матрицу Q = || qij ||. Тогда j е i = e k, j e j = e m. Вычислим скалярное произведение этих векторов:

(j е i,j e j) = (e k, e m) = = . (6)

Из ортогональности матрицы Q следует (см. формулу (4) §3), что , и тогда (j e i,j e j) = d ij, что означает ортонормированность образов векторов данного базиса. По теореме 2 заключаем, что j - ортогональный оператор.

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)