АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

И координаты вектора

Читайте также:
  1. II. Операции над векторами, заданными их разложениями по ортам (заданными координатами)
  2. III. Умножение вектора на число
  3. V2: ДЕ 11 - Векторные пространства. Линейные операции над векторами
  4. Алгоритм определения наибольшего по модулю собственного значения и соответствующего собственного вектора матрицы с положительными элементами.
  5. Б) Множення вектора на скаляр
  6. Базис векторного пространства. Координаты вектора
  7. Базис. Координаты вектора в базисе
  8. Билет 12 Различные уравнения прямой на плоскости, геометрический смысл параметров. Формула преобразования координат вектора при переходе к новому базису
  9. Билет 19Декартовы прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве
  10. Билет 7 Скалярное произведение векторов, проекция одного вектора на другой. Понятие линейного пространства и подпространства, критерии подпространства
  11. Билет 8. Векторное произведение, его геометрический смысл, выражение через координаты. Базис и размерность линейного пространства.
  12. Ввод, вывод вектора и матрицы

Система векторов a 1,…, a n векторного пространства V называется максимальной линейно независимой системой, если для любого вектора x Î V система a 1,…, a n, x линейно зависима.

Определение 1. Векторное пространство V называется конечномерным, если в нем существует, по крайней мере, одна конечная максимальная линейно независимая система векторов.

Определение 2. Базисом конечномерного векторного пространства V называется упорядоченная максимальная линейно независимая система векторов.

Справедлива следующая

Теорема 1. Любой вектор разлагается по базису и притом единственным образом.

В самом деле, пусть e 1,…, e n – базис векторного пространства, а x – любой вектор этого пространства.По определению базиса система векторов e1,…,e n, x линейно зависима, аееподсистема e 1,…, e n линейно независима. Тогда, по следствию 40 § 2 вектор x единственным образом выражается через базис в виде

x = x 1 e 1 + …+ xn e n. (1)

Определение 3. Коэффициенты разложения вектора по базису e 1,…, e n называютсякоординатами вектора в этом базисе.

Если вектор х задан в виде (1), а базис известен, то часто пишут

x = (x 1,…, xn).

Пример. Найти координаты многочлена в базисе:

а)

б)

Решение. Координаты вектора в базисе а) получаем сразу по определению

[f(x)]= (3, -1, 2, 4).

Для нахождения координат в базисе б) разложим многочлен по степеням (x-1), пользуясь формулой Тейлора:

Вычисляя значения производных при х=1, получим:

Многочлен можно переписать в виде:

Координатами в указанном базисе будут числа (3, 8, 9, 8).

Теорема 2. Координаты произведения числа на вектор равны произведениям соответствующихкоординат вектора на это число.Координаты суммы векторов равны суммам соответствующих координат векторов.

В самом деле, умножая обе части равенства (1) на число a и используя аксиомы векторного пространства, получим:

a x = a(x 1 e 1+…+ xn e n) = (a x 1) e 1 +…+ (a xn) e n. (2)

Если задан вектор

y = y 1 e 1 +… + yn e n,(3)

то с использованием тех же аксиом будем иметь

x+y = (x 1 e 1+…+ xn e n)+(y 1 e 1+…+ yn e n) = (x 1+ y 1) e 1+…+(xn + yn) e n. (4)

Из равенств (2), (4) и определения 3 следует справедливость утверждения теоремы.

Те орема 3. Всякий базис состоит из одинакового числа векторов.

В самом деле, пусть имеются два базиса e 1,…, e n и f 1,…, f m. Так как по теореме 1 каждый вектор одного базиса линейно выражается через векторы другого базиса, то по лемме о двух системах векторов мы получим, что m £ n и n £ m, откуда следует равенство m = n.

Теперь мы можем дать следующее

Определение 4. Размерностью конечномерного векторного пространства называется число векторов в его базисе.

Если размерность пространства V равна n, то или пишут dimV = n, или векторное пространство обозначают Vn.

Определение 5. Система векторов а 1,…, a s называется порождающей системой или системой образующих векторного пространства V, если любой вектор из V является линейной комбинацией векторов этой системы.

В этом случае пишут V = < a 1,…, a s>.

Теорема 4. Любая конечная порождающая система векторов векторного пространства содержит базис.

Доказательство. Пусть V=< a 1,…, a s>. Будем вычеркивать по порядку все нулевые векторы, пока не встретим ненулевой. Перенумеровав, если необходимо, векторы, будем считать, что а 1¹ 0. Теперь вычеркнем те векторы, которые вместе с вектором а 1 образуют линейно зависимые системы. Изменив, если необходимо, нумерацию векторов, первый не вычеркнутый вектор обозначим а 2 и начнем вычеркивать те векторы, которые вместе с векторами а 1 и а 2 образуют линейно зависимую систему. Продолжая процесс, получим, что система векторов а 1,…, a n – линейно независима, а все системы a 1,…, a n, a i, где i=n +1, …,s, - линейно зависимые. Тогда, по свойству 40 § 2 каждый вектор а i может быть представлен в виде

a i = a i 1 a 1+…+a in a n, i = n + 1, n +2,…, s. (5)

По определению порождающей системы имеем, что любой вектор х из V есть линейная комбинация векторов этой системы, то есть

x = b 1 a 1+…+ bn a n + bn +1 a n +1+…+ b s a s. (6)

Если в (6) внести из (5) выражения векторов а n +1,…, a s, то получим, что каждый вектор х пространства V линейно выражается через линейно независимую систему a 1,…, a n, которая в силу этого является максимальной и, следовательно, базисом.

Теорема 5. Всякую линейно независимую систему векторов можно дополнить до базиса.

Доказательство. Пусть a 1,…, a k - линейно независимая система, а e 1,…, e n – некоторый базис пространства V. Очевидно, что V =< a 1,…, a k, e 1,…, e n >. Применяя к данной порождающей системе рассуждения теоремы 4, мы дополним данную независимую систему до базиса.

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)