АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

В различных базисах

Читайте также:
  1. II. Первая помощь в различных случаях
  2. Амплитудно частотные характеристики различных приборов, измеряющих частоту электрических сигналов.
  3. Анализ опасности поражения электрическим током в различных сетях
  4. Анализ различных критериев периодизации психического развития. Понятие ведущей деятельности
  5. Атмосфера марша была торжественной. Клив Джонс чувствовал воодушевление. Все эти месяцы ему было так одиноко. Но вот - здесь тысячи людей, и среди них нет безразличных.
  6. В различных районах России в 1995г.
  7. Ветсанэкспертиза продуктов убоя диких животных и пернатой дичи при различных патологиях
  8. ВЗАИМОСВЯЗЬ РАЗЛИЧНЫХ УРОВНЕЙ ЗНАНИЯ
  9. Взаимосвязь различных форм движения материи
  10. Виды медицинской помощи – определение, место оказания, оптимальные сроки оказания различных видов, привлекаемые силы и средства
  11. Влияние минеральных удобрений на численность различных физиологических групп микроорганизмов и активность процессов азотфиксации и денитрификации в почве

Пусть в n -мерном векторном пространстве V над полем Р задан линейный оператор j, который в базисе e = (e 1,… e n) имеет матрицу Аj, а в базисе e ¢= (e ¢1,…, e ¢ n) – матрицу А¢j, причем матрицу перехода от базиса е к базису е ¢ обозначим Т. Тогда имеют место равенства

j е = е Аj, (1)

j е ¢= е ¢А¢j, (2)

е ¢ = е Т. (3)

Напомним (см.§ 4 гл.1), что (3) есть матричная запись равенств

е ¢1 = t 11 e 1+…+ t 1 n e n,

…………………… (3¢)

e ¢ n = tn 1 e 1+…+ tnn e n.

При нахождении образов векторов базиса е ¢ в силу свойств линейного оператора достаточно в (3¢) формально перед каждым вектором приписать значок j, или, что то же самое, в равенстве (3) перед матрицами-строками е ¢ и е приписать j. Иными словами, из (3) имеем

j е ¢ = (j е)Т. (4)

Внесем в (4) значения j е ¢ и j е из (2) и (1), тогда получим

е ¢А¢j = е АjТ. (5)

Заменив в этом равенстве е ¢ из (3), придем к равенству

е ТА¢j = е АjТ, (6)

откуда следует

ТА¢j = АjТ. (7)

Умножая обе части этого равенства слева на матрицу Т-1, окончательно получаем

А¢j = Т-1АjТ. (8)

Напомним, что ранг произведения матрицы А справа или слева на невырожденную матрицу равен рангу матрицы А. Учитывая это свойство произведения матриц, из (8) получаем что rang А¢j = = rang Аj. Это значит, что справедливо

Предложение. Ранг матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса.

Это предложение дает нам право ввести следующее

Определение. Рангом линейного оператора называется ранг его матрицы в любом базисе.

Пример. Линейный оператор f пространства R3 имеет в базисе

е1 = (8, -6, 7), е2 = (-16, 7, -13), е3 = (9, -3, 7)

матрицу

Найти матрицу В того же преобразования в базисе:

е1' = (1, -2, 1), е2' = (3, -1, 2), е3' = (2, 1, 2).

Решение. Находим матрицу перехода Т от базиса е к базису е′. Получаем:

е1 = е1 + е2 + е3,

е2 = е1 + 2 е2 + 3 е3,

е3 = -3 е1 - 5 е2 - 6 е3.

Выпишем матрицу перехода

Матрица В находится по формуле В = Т-1АТ.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)