АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Глава 4. Евклидовы пространства. Линейные операторы и квадратичные формы в евклидовых пространствах

Читайте также:
  1. A) линейные
  2. BRP открывает новый виток инновационного развития с выпуском платформы Ski-Doo REV
  3. I. ГЛАВА ПАРНЫХ СТРОФ
  4. II Формы общения, к вампиризму не относящиеся
  5. II. Глава о духовной практике
  6. II. ЦЕЛИ И ФОРМЫ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРИХОДА
  7. III. Глава о необычных способностях.
  8. IV. Глава об Освобождении.
  9. IV. Глава подразделения по стране
  10. IV. Формы контроля
  11. IV. Формы контроля
  12. V. Формы контроля

 

Евклидовы пространства. Основные понятия

Определение 1. Евклидовым пространством называется векторное пространство Е над полем действительных чисел, если в нем задана билинейная симметрическая форма В, порождающая положительно определенную квадратичную форму.

Сама билинейная форма В называется скалярным произведением, а скалярным произведением двух векторов х и у называется значение билинейной формы на этих векторах, то есть В (х,у). По традиции, в евклидовых пространствах принято обозначать не В (х, у), а (х, у).

Пример 1. В множестве свободных геометрических векторов (направленных отрезков) введем скалярную функцию от двух векторных аргументов формулой (х, у) = | х || у |cosÐ(x,y).

Из свойств этой функции, которая рассматривалась в аналитической геометрии, следует, что она является скалярным произведением.

Пример 2. В арифметическом п -мерном пространстве R n для двух векторов х =(х 1,…, хп) и у =(у 1,…, уп) положим (х, у)= х 1 у 1+ х 2 у 2+…+ хпуп. Легко проверить, что функция (х, у) является скалярным произведением.

Пример 3. В векторном пространстве R (a,b) непрерывных действительных функций, заданных на промежутке [a,b], зададим функцию (f,g) = . Используя свойства интеграла, убеждаемся, что данная функция является скалярным произведением.

Определение 2. Длиной вектора х называется число | х | = .

Из свойств скалярного произведения и определения 2 следует, что длина вектора обладает следующими свойствами:

1) | х | = 0 Û х = 0; 2) |a х | = |a|| х |.

Теорема. В евклидовом пространстве справедливо неравенство Коши-Буняковского

(х, у)2 £ (х, х)(у, у). (1)

Доказательство. Из свойств скалярного произведения следует, что для любого параметра t и векторов х, у справедливо неравенство

(t x - y, t x - y) ³ 0. (2)

Преобразовав левую часть неравенства (2), получим

t 2(x, x) - 2 t (x, y) +(y, y) ³ 0. (3)

Левая часть неравенства (3) представляет собой квадратный трехчлен с положительным коэффициентом при квадрате переменного. Так как при любом t трехчлен не отрицателен, его дискриминант не больше нуля, то есть

(х, у)2 – (х, х)(у, у) £ 0, (4)

но это неравенство эквивалентно неравенству Коши-Буняковского.

Заметим, что из (1) следует, что |(х, у)| £ | х || у |, а учитывая, что (х, у) £ |(х, у)|, получим

(х,у) £ | х || у |. (5)

Учитывая вышесказанное, мы можем дать следующее корректное определение.

Определение 3. Углом между ненулевыми векторами х и у называется угол a, 0£ a £ p, определяемый формулой

cosa = . (6)

Отметим простейшие следствия из неравенства Коши-Буняковского.

Следствие 1. | х + у | £ | х | + | у |.

В самом деле,

| х + у |2 = (х + у, х + у) =(х, х) + 2(х, у) + (у, у)£ | х |2 + 2| х || у | + | у |2 =(| х | + | у |)2, откуда и следует наше утверждение.

Следствие 2. (х, у)2 = (х, х)(у, у) Û у = t0 x,

где t0 - некоторое действительное число.

Необходимость. Пусть дискриминант трехчлена, стоящего в левой части неравенства (3), равен нулю. Тогда квадратный трехчлен имеет единственный двукратный корень t0 и, следовательно, выполняется тождество

(х, х) - 2 (x, y) + (x, y) = 0. (7)

Равенство (7) можно переписать в виде

( x - y, x - y) =0,

откуда и следует, что х - у = 0.

Достаточность следует из того, что если мы внесем значение вектора у = х в равенство (х, у)2 = (х, х)(у, у), то получим тождество.

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)