АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Приложения производных и дифференциалов

Читайте также:
  1. АНАЛИЗ ЛЕКАРСТВЕННЫХ СРЕДСТВ ПРОИЗВОДНЫХ БЕНЗОЛСУЛЬФОНИЛАМИДА
  2. В приложениях курсовой работы необходимо поместить экранные формы прикладных программ, упомянутых в тексте курсовой работы.
  3. Вычисление пределов с помощью производных
  4. Механизм координации рефлекторных актов. Учение А.А.Ухтомского о доминанте, практические приложения в обучении и воспитании
  5. Модификация производных двух атомных фенолов.
  6. ОБОСОБЛЕННЫЕ И НЕОБОСОБЛЕННЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
  7. Обособленные приложения
  8. Объяснения, приложения, ориентации
  9. Окно приложения PowerPoint
  10. Основные правила нахождения производных.
  11. ОСОБЕННОСТИ ФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ГОМО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ УГЛЕВОДОРОДОВ
  12. Практические приложения

1. Формула Тейлора.

Приближение функции в окрестности точки многочленом может быть удобно в работе с этой функцией.

, где остаточный член , например, в форме Лагранжа, имеет вид , где (вообще говоря, зависит от и ).

Справедливы следующие формулы Маклорена (формулы Тейлора при ) для некоторых элементарных функций:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

Пример 12. Разложить многочлен по степеням .

Решение: , , , , , , . .

Пример решения с использованием Maple:

>taylor(x^3+x^2+2*x-3,x=-1,4);

-5+3*(x+1)-2*(x+1)^2+1*(x+1)^3

Формула Тейлора n -го порядка точна для многочлена порядка n ().

Пример 13. Вычислить приближенно с помощью первого дифференциала .

Решение:

. Итак, .

Пример решения с использованием Maple:

>convert(subs(x=(Pi/36),taylor(tan(x),x=0,2)),polynom);

1/36*Pi

В примере 13 неизвестна точность приближенного вычисления. Покажем, как с помощью формулы Тейлора можно производить вычисления с гарантированной точностью.

Пример 14. Вычислить с точностью .

Решение: . . . . Итак, гарантирует заданную точность.

.

Пример решения с использованием Maple:

>C:=taylor(sin(x),x=Pi/6,5);

C:=series(1/2+(1/2*3^(1/2))*(x-1/6*Pi)-1/4*(x-1/6*Pi)^2+(-

1/12*3^(1/2))*(x-1/6*Pi)^3+1/48*(x-1/6*Pi)^4+O((x-1/6*Pi)^5),x=

-(-1/6*Pi),5)

>V:=subs(x=7/45*Pi,C); convert(evalf(V),polynom);

V:=1/2-1/180*3^(1/2)*Pi-1/32400*Pi^2+1/8748000*3^(1/2)*

Pi^3+1/3149280000*Pi^4+O(-1/5904900000*Pi^5)

.4694715632

1. Правило Лопиталя. Справедлива теорема:

Теорема 1. Пусть в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой этой точки, 2 функции и , одновременно бесконечно малые или бесконечно большие, дифференцируемы и . При этом, если , то и они равны.

Пример 15. Вычислить .

Решение.

.

Пример решения с использованием Maple:

>limit(ln(cos(x))/ln(cos(2*x)),x=0);

1/4

Пример 16. Вычислить .

Решение.

.

Пример решения с использованием Maple:

>limit((2-x)^tan(Pi*x/2),x=1);

exp(2/Pi)

Пример 17. Вычислить .

Решение. .

Пример решения с использованием Maple:

>limit(x*cot(Pi*x),x=0);

1/Pi

2. Рассмотрим некоторые геометрические приложения производной. Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид . Если , то уравнение касательной . Уравнение нормали к графику в этой точке – . Если , то уравнение нормали

.

Пример 18. Написать уравнения касательной и нормали к графику функции в точке .

Решение. Вычислим – уравнение касательной; – уравнение нормали.

Пример решения с использованием Maple:

>V:=diff(x^2+y(x)^2,x);

V:=2*x+2*y(x)*diff(y(x),x)

>W:=solve(V=0,diff(y(x),x));

W:=-x/y(x)

>subs(x=1/sqrt(2),y(1/sqrt(2))=1/sqrt(2),W);

-1

*Здесь найден только угловой коэффициент касательной

Пример 19. Под какими углами пересекаются кривые и ?

Решение.

1. .

2. .

3. В силу симметрии кривых .

Здесь использована формула (см. Рис.).

Пример решения с использованием Maple:

>solve(x=x^3,x);

0 1 -1

>a:=diff(x,x); b:=diff(x^3,x);

a:=1

b:=3*x^2

>arctan(subs(x=0,(a-b)/(1+a*b)));

1/4*Pi

>arctan(subs(x=1,(b-a)/(1+a*b)));

arctan(1/2)

>arctan(subs(x=-1,(b-a)/(1+a*b)));

arctan(1/2)

Конец формы

 


1 | 2 | 3 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.008 сек.)