Для определения силы взаимосвязи найдем линейный коэффициент парной корреляции

Коэффициентом корреляции (r) характеризует тесноту связи и рассчитывается по формуле:

Таблица №2.

год	xi	yi	xi2	xiyi	yi2	i	yi-	(yi- )/yi	(yi- i)2	xi-	(xi- )2
	33,09	170,18	1094,948	5631,256	28961,23	160,52	9,6595	0,05676	93,30594	0,18667	0,034846
	37,71	180,06	1422,044	6790,063	32421,6	171,84	8,2205	0,045654	67,57662	4,80667	23,10408
	28,78	154,93	828,2884	4458,885	24003,3	149,96	4,969	0,032073	24,69096	-4,12333	17,00185
	24,49	139,41	599,7601	3414,151	19435,15	139,45	-0,0405	-0,00029	0,00164	-8,41333	70,78412
	31,29	159,24	979,0641	4982,62	25357,38	156,11	3,1295	0,019653	9,79377	-1,61333	2,602834
	31,82	158,57	1012,512	5045,697	25144,44	157,41	1,161	0,007322	1,347921	-1,08333	1,173604
	37,30	177,59	1391,29	6624,107	31538,21	170,84	6,755	0,038037	45,63002	4,39667	19,33071
	33,91	162,09	1149,888	5496,472	26273,17	162,53	-0,4395	-0,00271	0,19316	1,00667	1,013384
	29,42	149,92	865,5364	4410,646	22476,01	151,53	-1,609	-0,01073	2,588881	-3,48333	12,13359
	31,70	157,72	1004,89	4999,724	24875,6	157,12	0,605	0,003836	0,366025	-1,20333	1,448003
	35,21	163,45	1239,744	5755,075	26715,9	165,71	-2,2645	-0,01385	5,12796	2,30667	5,320726
	37,03	163,21	1371,221	6043,666	26637,5	170,17	-6,9635	-0,04267	48,49033	4,12667	17,02941
	35,50	162,35	1260,25	5763,425	26357,52	166,43	-4,075	-0,0251	16,60563	2,59667	6,742695
	33,79	152,86	1141,764	5165,139	23366,18	162,24	-9,3755	-0,06133	87,9	0,88667	0,786184
	32,51	149,40	1056,9	4856,994	22320,36	159,1	-9,6995	-0,06492	94,0803	-0,39333	0,154708
итого	493,55	2400,98	16418,1	79437,92	385883,6	2400,95	0,0325	-0,01828	497,6992	-0,013	178,6607
среднее	32,9033	160,065	1094,54	5295,861	25725,57	160,06	0,002167	-0,00122	33,17994	0,00	11,91072

(29)

S_y — выборочное среднеквадратическое отклонение зависимой переменной y. Этот показатель характеризует, на сколько единиц в среднем отклоняются значения зависимого признака y от его среднего значения. Он вычисляется по формуле:

(30)

Коэффициент корреляции лежит в пределах -1< r <1. В случае если r=0, связи нет. Если r =1, то между двумя величинами существует сильная функциональная связь. При положительном r наблюдается прямая связь, т.е. с увеличением независимой переменной - x увеличивается зависимая - y. При отрицательном коэффициенте существует обратная связь, с увеличением независимой переменной зависимая переменная уменьшается. Связь считается сильной при , средней при , умеренной при , слабой при , очень слабой при .

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Что свидетельствует о сильной прямой связи.

Для оценки качества построенного уравнения рассчитаем коэффициент детерминации и среднюю ошибку аппроксимации.

Коэффициент детерминации указывает, какой процент вариации функции Y объясняется воздействием фактора Х. Коэффициент детерминации изменяется от 0 до 1, и чем ближе значение данного коэффициента к 1, тем удачнее выбранная форма регрессионной зависимости аппроксимирует данные. В разобранном примере для линейной модели коэффициент детерминации равен:

Вариация результата на 69 % объясняется вариацией фактора Х

Показатель средней ошибки аппроксимации рассчитывается по формуле:

(31)

Максимально допустимым значением данного показателя считается 12—15%. Если средняя ошибка аппроксимации составляет менее 6—7%, то качество модели считается хорошим.

Величина средней ошибки аппроксимации А составляет 2,57 %, что свидетельствует о высоком качестве модели.

Проверка значимость полученных с помощью метода наименьших квадратов оценок коэффициентов регрессии, значимость парного линейного коэффициента корреляции и уравнения регрессии в целом с помощью статистических гипотез.

При проверке значимости (предположения того, что параметры отличаются от нуля) коэффициентов регрессии выдвигается основная гипотеза H₀ о незначимости полученных оценок, например:

(32)

в качестве альтернативной (или обратной) выдвигается гипотеза о значимости коэффициентов регрессии, например:

(33)

Выдвинутые гипотезы проверяются следующим образом:

1) если модуль наблюдаемого значения t-критерия больше критического значения t-критерия, т. е. |t_набл| > t_крит, то с вероятностью (1 −α) или γ основную гипотезу о незначимости параметров регрессии отвергают, т. е. параметры регрессии не равны нулю;

2) если модуль наблюдаемого значения t-критерия меньше или равен критическому значению t-критерия, т. е. |t_набл| ≤ t_крит, то с вероятностью α или (1 −γ) основная гипотеза о незначимости параметров регрессии принимается, т. е. параметры регрессии почти не отличаются от нуля или равны нулю.

Формула наблюдаемого значения t-критерия Стьюдента для проверки гипотезы имеет вид:

(34)

где — оценка параметра регрессии β₁;

ω(β₁) — величина стандартной ошибки параметра регрессии β₁.

В случае парной линейной модели регрессии показатель вычисляется следующим образом:

(35)

Числитель стандартной ошибки может быть рассчитан через парный

коэффициент детерминации как:

(36)

где G²(y) - общая дисперсия зависимого признака;

- парный коэффициент детерминации между зависимыми и независимыми признаками.

Вычисляя наблюдаемое значение t-критерия, получили t_набл = 5,32 и сравниваем с критическими t_крит, которые определяют по таблице распределения Стьюдента с учётом принятого уровня значимости α=0,05 и числом степеней свободы вариации n–2 (15-2=13), получили t_крит=1,7715.

Наблюдаемое значение t-критерия по модулю больше его критического значения, т. е. |t_набл| > t_крит.

|5,32| > 1,771

Таким образом, коэффициент парной регрессии β₁ оказался значимым.

Формула наблюдаемого значения t-критерия Стьюдента для проверки

гипотезы имеет вид:

(36)

где — оценка параметра регрессии β0;

— величина стандартной ошибки параметра регрессии β₀.

В случае парной линейной модели регрессии показатель вычисляется следующим образом:

(37)

Вычисляя наблюдаемое значение t-критерия, получили t_набл = 5,19 и сравниваем с критическими t_крит, которые определяют по таблице распределения Стьюдента с учётом принятого уровня значимости α=0,05 и числом степеней свободы вариации n–2 (15-2=13), получили t_крит=1,7715.

Наблюдаемое значение t-критерия по модулю больше его критического значения, т. е. |t_набл| > t_крит.

|5,19| > 1,771

Таким образом, коэффициент парной регрессии β₀ оказался значимым.

Поиск по сайту: