АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Задача № 2. Требуется для характеристики зависимости У от X рассчитать параметры линейной (альтернативным методом нахождения параметров уравнения парной регрессии)

Читайте также:
  1. XV. СВЕРХЗАДАЧА. СКВОЗНОЕ ДЕЙСТВИЕ
  2. Вторая задача анализа на чувствительность
  3. Глава III. ЗАДАЧА
  4. Главная задача вакханалии этого этапа — хотя бы частично вывести поедание людей из-под уголовного преследования. Хоть раз, хоть в какой-то исторический момент.
  5. Движение вектора смещения (вторая задача)
  6. Задание 48-2: (Кейс 2 подзадача 1)
  7. Задача .
  8. Задача 1
  9. Задача 1
  10. Задача 1
  11. Задача 1
  12. Задача 1

 

Требуется для характеристики зависимости У от X рассчитать параметры линейной (альтернативным методом нахождения параметров уравнения парной регрессии), степенной, показательной функции и выбрать оптимальную модель (провести оценку моделей через среднюю ошибку аппроксимации (А) и F- критерий Фишера).

Решение:

Построение линейной функции альтернативным методом нахождения параметров уравнения парной регрессии вида

(42)

сводится к нахождению параметра:

(43)

где ryx – линейный коэффициент парной корреляции между переменными y и x;

Sx, Sy – среднеквадратическое отклонение величин y и x.

Рассчитаем :

Получим линейное уравнение

у = 160,06 + 0,28(х – 32,90) = 160,06 + 0,27х – 9,21 = 150,85 + 0,27х

Рассчитаем показатели: тесноты связи – коэффициент корреляции и среднюю ошибку аппроксимации

(29)

Что свидетельствует о сильной прямой связи.

Показатель средней ошибки аппроксимации рассчитывается по формуле:

(31)

Величина средней ошибки аппроксимации А составляет 4,16 %, что свидетельствует о высоком качестве модели.

Проверим гипотезу о значимости уравнений регрессии.

(41)

k1 = 2-1 = 1

k2 = 15-2 = 13

Fкрит(0,05; 1; 13) = 4,67

Fнабл > Fкрит

23,1 > 4,67

Значит, с вероятностью 0,05 основная гипотеза о незначимости коэффициентов уравнения регрессии или парного коэффициента детерминации отвергается, и уравнение регрессии признается значимым.

 

Построению степенной функции предшествует процедура линеаризации переменных.

В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

ln y=ln β0+ β1 ln x (44)

Y = C + β1 X (45)

Где Y=ln y, X=ln x, C=ln β0

 

Для расчетов используем данные таблицы №4.

 

 


 

Таблица №4.

 

год xi yi ln xi ln yi lnxi lnyi ln2xi ln2yi i уi - i i - i)2 Аi у - (у - )2
  33,09 170,18 3,49923112 5,1368567 17,9750488 12,2446184 26,3872968 160,5205 9,6595 93,3059402 0,0686 10,115 102,313225
  37,71 180,06 3,62992531 5,19329013 18,8512553 13,1763578 26,9702624 171,8395 8,2205 67,5766202 0,0628 19,995 399,800025
  28,78 154,93 3,3596807 5,0429734 16,9427804 11,2874544 25,4315807 149,961 4,969 24,690961 0,0416 -5,135 26,368225
  24,49 139,41 3,19826487 4,93741923 15,7911745 10,2288982 24,3781087 139,4505 -0,0405 0,00164025 0,012 -20,655 426,629025
  31,29 159,24 3,44329856 5,0704125 17,458944 11,856305 25,7090829 156,1105 3,1295 9,79377025 0,0296 -0,825 0,680625
  31,82 158,57 3,46009502 5,06619614 17,52952 11,9722576 25,6663433 157,409 1,161 1,347921 0,0174 -1,495 2,235025
  37,3 177,59 3,61899333 5,17947752 18,7444946 13,0971127 26,8269874 170,835 6,755 45,630025 0,0546 17,525 307,125625
  33,91 162,09 3,52370996 5,08815174 17,9291709 12,4165319 25,8892881 162,5295 -0,4395 0,19316025 0,0089 2,025 4,100625
  29,42 149,92 3,38167472 5,01010182 16,9425346 11,4357239 25,1011202 151,529 -1,609 2,588881 0,0018 -10,145 102,921025
  31,7 157,72 3,45631668 5,06082131 17,4918011 11,946125 25,6119123 157,115 0,605 0,366025 0,0138 -2,345 5,499025
  35,21 163,45 3,56133013 5,09650713 18,1503444 12,6830723 25,974385 165,7145 -2,2645 5,12796025 0,001 3,385 11,458225
  37,03 163,21 3,61172839 5,09503772 18,4018924 13,044582 25,9594093 170,1735 -6,9635 48,4903323 0,028 3,145 9,891025
  35,5 162,35 3,5695327 5,0897545 18,1680451 12,7415637 25,9056009 166,425 -4,075 16,605625 0,012 2,285 5,221225
  33,79 152,86 3,5201649 5,02952247 17,7047485 12,3915609 25,2960963 162,2355 -9,3755 87,9000002 0,0509 -7,205 51,912025
  32,51 149,4 3,48154773 5,00662727 17,4308118 12,1211746 25,0663166 159,0995 -9,6995 94,0803003 0,0557 -10,665 113,742225
итого 493,55 2400,98 52,3154941 76,1031496 265,512567 182,643338 386,173791 2400,9475 0,0325 497,699162 0,4586 0,005 1569,89718
среднее 32,9 160,065 3,48769961 5,0735433 17,7008378 12,1762226 25,7449194 160,063167 0,00216667 33,1799442 0,0306 0,00033333 104,659812

Рассчитаем С и β1:

 

(46)

(47)

Получим линейное уравнение:

(48)

Выполнив его потенцирование, получаем теоретические значения результата .

(49)

По ним рассчитаем показатели: тесноты связи – индекс корреляции и среднюю ошибку аппроксимации

(50)

Что свидетельствует о сильной связи.

(31)

Величина средней ошибки аппроксимации А составляет 3,27 %, что свидетельствует о высоком качестве модели.

Проверим гипотезу о значимости уравнений регрессии.

(51)

 

k1 = 2-1 = 1

k2 = 15-2 = 13

Fкрит(0,05; 1; 13) = 4,67

Fнабл > Fкрит

26,48 > 4,67

Значит, с вероятностью 0,05 основная гипотеза о незначимости коэффициентов уравнения регрессии или парного коэффициента детерминации отвергается, и уравнение регрессии признается значимым.

 

Построению уравнения показательной кривой y= предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения:

 

ln y=ln β0+x ln β1 (52)

Y=C+B x (53)

где Y=ln y, C=ln β0, B=ln β1.

 

Для расчетов используем данные таблицы №5.

 

Значения параметров регрессии C и В составили:

(54)

Получим линейное уравнение:

(55)


Таблица №5.

 

год xi yi ln yi ln yi · xi xi2 ln2yi i уi - i i - i)2 Аi уi - i i - i)2
  33,09 170,18 5,13686 169,978588 1094,9481 26,3873 160,521 9,6595 93,3059 0,0686 10,115 102,313
  37,71 180,06 5,19329 195,838971 1422,0441 26,9703 171,84 8,2205 67,5766 0,0628 19,995 399,8
  28,78 154,93 5,04297 145,136775 828,2884 25,4316 149,961 4,969 24,691 0,0416 -5,135 26,3682
  24,49 139,41 4,93742 120,917397 599,7601 24,3781 139,451 -0,0405 0,00164 0,012 -20,655 426,629
  31,29 159,24 5,07041 158,653207 979,0641 25,7091 156,111 3,1295 9,79377 0,0296 -0,825 0,68062
  31,82 158,57 5,0662 161,206361 1012,5124 25,6663 157,409 1,161 1,34792 0,0174 -1,495 2,23503
  37,3 177,59 5,17948 193,194512 1391,29 26,827 170,835 6,755 45,63 0,0546 17,525 307,126
  33,91 162,09 5,08815 172,539225 1149,8881 25,8893 162,53 -0,4395 0,19316 0,0089 2,025 4,10063
  29,42 149,92 5,0101 147,397195 865,5364 25,1011 151,529 -1,609 2,58888 0,0018 -10,145 102,921
  31,7 157,72 5,06082 160,428035 1004,89 25,6119 157,115 0,605 0,36602 0,0138 -2,345 5,49902
  35,21 163,45 5,09651 179,448016 1239,7441 25,9744 165,715 -2,2645 5,12796 0,001 3,385 11,4582
  37,03 163,21 5,09504 188,669247 1371,2209 25,9594 170,174 -6,9635 48,4903 0,028 3,145 9,89103
  35,5 162,35 5,08975 180,686285 1260,25 25,9056 166,425 -4,075 16,6056 0,012 2,285 5,22122
  33,79 152,86 5,02952 169,947564 1141,7641 25,2961 162,236 -9,3755 87,9 0,0509 -7,205 51,912
  32,51 149,4 5,00663 162,765453 1056,9001 25,0663 159,1 -9,6995 94,0803 0,0557 -10,665 113,742
итого 493,55 2400,98 76,1031 2506,80683 16418,1009 386,174 2400,95 0,0325 497,699 0,4586 0,005 1569,9
среднее 32,9 160,065 5,07354 167,120455 1094,54006 25,7449 160,063 0,00217 33,1799 0,0306 0,00033 104,66

Выполнив его потенцирование, получаем теоретические значения результата .

(56)

По ним рассчитаем показатели: тесноты связи – индекс корреляции и среднюю ошибку аппроксимации

(50)

Что свидетельствует о сильной связи.

(31)

Величина средней ошибки аппроксимации А составляет 0,19 %, что свидетельствует о высоком качестве модели

Проверим гипотезу о значимости уравнений регрессии.

(51)

k1 = 2-1 = 1

k2 = 15-2 = 13

Fкрит(0,05; 1; 13) = 4,67

Fнабл > Fкрит

26,39 > 4,67

Значит, с вероятностью 0,05 основная гипотеза о незначимости коэффициентов уравнения регрессии или парного коэффициента детерминации отвергается, и уравнение регрессии признается значимым.

 

Уравнение равносторонней гиперболы линеаризуется при замене: z= .

Тогда y= β0+ β1 z

Для расчетов используем данные таблицу №6.

Значения параметров регрессии β0 и β1 составили:

 

(52)

(53)

Получим линейное уравнение

(54)

Индекс корреляции:

(50)

(31)

Величина средней ошибки аппроксимации А составляет 0,2 %, что свидетельствует о высоком качестве модели.

Проверим гипотезу о значимости уравнений регрессии.

(51)

 


 

Таблица №6.

 

год xi yi zi yi · zi zi2 yi2 i уi - i i - i)2 Аi уi - i i - i)2
  33,09 170,18 0,0302206 5,1429434 0,0009132 28961,23 160,52 9,6595 93,3059 0,0686 10,115 102,313
  37,71 180,06 0,0265181 4,7748607 0,0007032 32421,60 171,84 8,2205 67,5766 0,0628 19,995 399,8
  28,78 154,93 0,0347463 5,3832522 0,0012073 24003,30 149,91 4,969 24,691 0,0416 -5,135 26,3682
  24,49 139,41 0,0408329 5,6925275 0,0016673 19435,14 139,45 -0,0405 0,00164 0,012 -20,655 426,629
  31,29 159,24 0,0319590 5,0891658 0,0010213 25357,37 156,11 3,1295 9,79377 0,0296 -0,825 0,68062
  31,82 158,57 0,0314267 4,9833438 0,0009876 25144,44 157,40 1,161 1,34792 0,0174 -1,495 2,23503
  37,3 177,59 0,0268096 4,7611260 0,0007187 31538,20 170,83 6,755 45,63 0,0546 17,525 307,126
  33,91 162,09 0,0294898 4,7800059 0,0008696 26273,16 162,53 -0,4395 0,19316 0,0089 2,025 4,10063
  29,42 149,92 0,0339904 5,0958531 0,0011553 22476,00 151,52 -1,609 2,58888 0,0018 -10,145 102,921
  31,7 157,72 0,0315457 4,9753943 0,0009951 24875,59 157,11 0,605 0,36602 0,0138 -2,345 5,49902
  35,21 163,45 0,0284010 4,6421471 0,0008066 26715,90 165,71 -2,2645 5,12796 0,001 3,385 11,4582
  37,03 163,21 0,0270051 4,4075074 0,0007292 26637,50 170,17 -6,9635 48,4903 0,028 3,145 9,89103
  35,5 162,35 0,0281690 4,5732394 0,0007934 26357,52 166,42 -4,075 16,6056 0,012 2,285 5,22122
  33,79 152,86 0,0295945 4,5238236 0,0008758 23366,18 162,23 -9,3755 87,9 0,0509 -7,205 51,912
  32,51 149,4 0,0307597 4,5955090 0,0009461 22320,36 159,1 -9,6995 94,0803 0,0557 -10,665 113,742
итого 493,55 2400,9 0,4614691 73,420699 0,0143904 385883,5 2400,9 0,0325 497,699 0,4587 0,005 1569,9
среднее 32,9 160,06 0,0307646 4,8947133 0,0009593 25725,5 160,06 0,0021 33,1799 0,0305 0,0003 104,66

k1 = 2-1 = 1

k2 = 15-2 = 13

Fкрит(0,05; 1; 13) = 4,67

Fнабл > Fкрит

28,93 > 4,67

Значит, с вероятностью 0,05 основная гипотеза о незначимости коэффициентов уравнения регрессии или парного коэффициента детерминации отвергается, и уравнение регрессии признается значимым.

В результате строим сводную таблицу данных:

 

Таблица №7.

  значимость
Линейная функция 2,57% 0,83 +
Степенная функция 2,57% 0,83 +
Показательная функция 0,19% 0,82 +
Равносторонняя гипербола 0,2% 0,82 +

 

По уравнению линейной функции получена наибольшая оценка тесноты связи (по сравнению со степенной функцией, показательной функцией, равносторонней гиперболой), но так же получена и наибольшая ошибка аппроксимации . Оценка тесноты связи равносторонней гиперболы практически не отличается от тесноты связи линейной функции, и ошибка аппроксимации этой модели (по сравнению с остальными функциями) минимальна . Поэтому можно сделать вывод, что равносторонняя гипербола является наиболее оптимальным видом функции, описывающим зависимость у от х.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.018 сек.)