|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Первообразная. Неопределённый интегралОсновная задача дифференциального исчисления: по заданной функции ƒ(х) найти её производную ƒ/(x) или дифференциал ƒ/(x) dx. Теперь будем решать обратную задачу: по заданной производной или дифференциалу найти саму функцию ƒ(х). С точки зрения механики это значит, что по известной скорости движения найти закон движения.
Определение 1: функция F(x) называется первообразной функцией для функции ƒ(х) на интервале (a, b), если F(x) дифференцируема на (a, b) и F/(x)=ƒ(х) или dF(x)=ƒ(x)dx Простейшие примеры: так как так как Если для ƒ(х) существует первообразная F (x), то существует и бесчисленное множество первообразных. Например, для ƒ(х) = х 2 первообразными будут функции: и т.д. Теорема 1: Если F(x) есть первообразная для функции ƒ(х) на (a, b), то функция F(х) + C – так же первообразная, где C - любое число. Доказательство: так как , то Даёт ли формула F (x) + c все первообразные для ƒ(х) или могут быть какие-то другие, не содержащиеся в этой формуле? Теорема 2: Если две функции F(x) и Ф(х) являются первообразными для ƒ(х) на (a,b), то их разность постоянна на этом интервале: Ф(х) – F(x) = C Доказательство: По условию Ф (х) = ƒ(x) и F/(x) = ƒ(х) , составим вспомогательную функцию φ (х) = Ф (х) – F (x). Очевидно: . Отсюда следует, что на (a, b). Из данных теорем следует, что если F (x) есть первообразная для ƒ(х) на (a, b), то любая другая первообразная Ф (х) для ƒ(х) на (a, b) имеет вид . (1) Таким образом, если производные двух функций тождественно равны, то сами функции могут отличаться лишь на постоянное слагаемое. Определение 2: Множество всех возможных первообразных функции ƒ(х) на интервале (a, b) называется неопределённым интегралом функции ƒ(х) и обозначается символом Знак называется интегралом, ƒ(х) – подынтегральная функция, ƒ(х) dx – подынтегральное выражение.
Таким образом, если F (x) – одна из первообразных для ƒ(х), то; по определению:
Рис. 7. Операцию нахождения неопределённого интеграла (первообразная) называют интегрированием функции ƒ(х). В приложениях интегрировать приходится чаще, чем дифференцировать. Функция, имеющая первообразную, называется интегрируемой. Теорема: Если функция ƒ(х) непрерывна на (a, b) то для неё существует первообразная на (a, b), т.е. она интегрируема. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.017 сек.) |