|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратные многочленыТеорема: Всякий многочлен степени имеет, по крайней мере, один действительный комплексный корень. Замечание: То, что в теореме говорится о многочлене, существенно. Неалгебраическое уравнение может не иметь ни действительных, ни комплексных корней. Например: ех = 0. Действительно, при любом комплексном х = α +iβ . Следствие: Многочлен (x) степени n имеет n корней с учётом их кратности, т.е. представим в виде произведения: (12) где x 1, x 2, …xm – различные корни многочлена (x) кратности r 1, r 2, … r m (r 1 +r 2 +…+rm n). Некоторые (или все) корни могут быть комплексными. Доказательство: По основной теореме многочлен имеет хотя бы один корень. Обозначим его через х, а его кратность через r 1. Тогда по формуле (11): Если r 1 = n, то и (x)=(х-х 1) nan и теорема доказана. Если r 1 <n и к многочлену степени n – r 1, снова применяем основную теорему. Обозначим корень этого многочлена через х 2, а его кратность через r 2. В результате получим: Процесс закончится через конечное число шагов (не большего n) и мы придем к формуле (12). Если в правую часть (12) подставить вместо х число, отличное от x 1, x 2, …xm, то она не обратится в нуль. Это показывает, что других корней, кроме найденных, многочлен Pn (x) не имеет и представление (12) единственно. Все сказанное до сих пор относится к многочленам как с действительными, так и с комплексными коэффициентами. Пусть теперь многочлен Pn (x) имеет действительные коэффициенты и пусть у него имеется комплексный корень кратности s: xk = α + iβ. Оказывается, что если коэффициенты действительны, то и число = α - iβ тоже будет корнем той же кратности. Т.е. в этом случае комплексные корни многочлена являются комплексно – сопряжёнными. Рассмотрим множители: Следовательно, объединяя скобки, соответствующие комплексно - сопряженными корнями в выражении (12), многочлен степени n с действительными коэффициентами можно разложить только на действительные множители – линейные и квадратичные: где, все трёхчлены не имеют действительных корней. Если многочлен не имеет комплексных корней, то квадратичные множители будут отсутствовать.
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.) |