АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Теорема о базисе

Читайте также:
  1. S-M-N-теорема, приклади її використання
  2. Б1 1.Системы линейных алгебраических уравнений (СЛУ). Теорема Кроникера-Капелли. Общее решение СЛУ.
  3. Базис. Координаты вектора в базисе
  4. Базисный минор и ранг матрицы. Теорема о базисном миноре
  5. Билет 22Понятие евклидова пространства, неравенство Коши-Буняковского. Теорема Кронекера Капелли.
  6. Билет 27 Ортогональный оператор и его матрица в ортонормированном базисе
  7. Билет 5 Теорема Безу и следствия из неё. Основная теорема алгебры.
  8. Билет10 Различные уравнения плоскости, угол между плоскостями. Вид матрицы линейного оператора в базисе из собственных векторов.
  9. Билет26 Самосопряженный оператор и его матрица в ортонормированном базисе.
  10. Внешние эффекты (экстерналии). Теорема Коуза.
  11. Внешние эффекты трансакционные издержки. Теорема Коуза
  12. Внешние эффекты, их виды и последствия. Теорема Коуза

Каждый вектор линейного пространства линейно выражается через любой его базис, причем единственным образом.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Пусть , , , – базис линейного пространства и – произвольный вектор из . Тогда, по определению базиса, , , , – линейно независимы и , , , , – линейно зависимы. Следовательно, существуют числа , , , , не все равные нулю и такие, что линейная комбинация ; ≠ 0.

Если , то и среди коэффициенты , , , есть ненулевые. => , , , - линейно зависимы. Это противоречит условию (по условию эти элементы образуют базис и, следовательно, линейно независимы).

Так как , то линейно выражается через , , , :

, ⇒ .

Докажем, что линейно выражается через базис единственным образом. Предположим противное. Пусть

и ,

причем хотя бы для одного . Пусть . Тогда

,

⇒ .

Так как , то . Таким образом, получили, что существует нулевая линейная комбинация векторов , , , , среди коэффициентов которой есть ненулевые. Значит , , , – линейно зависимые. Но они по условию линейно независимы, так как образуют базис.

Следовательно, предположение неверное и вектор разлагается по базису , , , единственным образом.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)