АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Корневые показатели

Читайте также:
  1. II. Основные показатели деятельности лечебно-профилактических учреждений
  2. II. Показатели финансовой устойчивости предприятия.
  3. IV. Показатели доходности (рентабельности).
  4. S 4. Показатели развития мировой экономики
  5. Абсолютные и относительные показатели изменения структуры
  6. Абсолютные и относительные показатели изменения структуры
  7. Абсолютные показатели вариации
  8. Абсолютные, относительные и средние показатели в статистике
  9. Агрегированные показатели бедности
  10. Анализ ФСП основывается главным образом на относительных показателях, так как абсолютные показатели баланса в условиях инфляции сложно привести в сопоставимый вид.
  11. Б) показатели использования коечного фонда
  12. Безработица и показатели ее измерения

Рассмотрим, как влияет на переходной процесс расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости на примере системы, описываемой дифференциальным уравнением третьего порядка.

Характеристическое уравнение имеет три корня и соответствующее решение выглядит так:

.

Будем иметь ввиду устойчивую систему, то есть все корни имеют отрицательную действительную часть.

Для действительных корней кривая у (t) переходного процессамонотонная, рис. 6.3.

Если два корня комплексных и один действительный, причем действительный расположен ближе к мнимой оси, а комплексные дальше, то кривая переходного процессаприобретает слабо выраженную колебательность, рис. 6.4.

Если комплексные корни располагаются вблизи мнимой оси, а действительный дальше, переходной процесс приобретает ярко выраженный колебательный характер, рис.6.5. Чем ближе комплексные корни к мнимой оси, тем медленнее затухают колебания, тем длительнее переходной процесс (больше время tp). Чисто мнимые корни дают незатухающие гармонические колебания.

Найдем условие, при котором регулируемая величина у (t) станет меньше в m раз за время регулирования. То есть, у (t) уменьшится до величины порога нечувствительности Δ.

 

Рис. 6.3. Монотонная кривая переходного процесса.

 

 

P
V y (t)

 

           
   
   
 
 
 

 


 

0 t

 

6.4. Апериодический процесс с колебательной составляющей.

 

P
V y (t)

           
   
   
 
 
 

 

 


 

 
 


0 t

 

 

Рис. 6.5. Затухающий колебательный процесс.

Для заданного времени tp требуется, чтобы корни рi имели отрицательную действительную часть s менее некоторой отрицательной величины a, рис. 6.6.

V y (t)

y (0) = C

 
 


y (t p)
0 U
М

0 t p t

a

 

Рис. 6.6. Рис. 6.7.

Пусть время регулирования tp обеспечивается корнем çs ê= a. Влиянием остальных корней пренебрегаем. Соответствующая этому корню кривая переходного процесса представлена на рис. 6.7. Она имеет уравнение

y (t) = Ce- at.

В начальный момент y (0) = C. В момент времени tp кривая пересечет порог нечувствительности. В точке М, где кривая пересекается с прямой y = D

.

Величина y (tp) станет меньше в m раз по сравнению с величиной в начальный момент. То есть,

.

То есть,

.

Логарифмируя, получаем:

Значит, величина действительной части корня, обеспечивающего заданное время регулирования, должна быть:

. (6.6)

Формула (6.6.) дает приближенную оценку a, потому что остались без внимания другие слагаемые полного решения уравнения.

Параметр a называют «запас устойчивости» или «степень устойчивости». Это абсолютное значение действительной части ближайшего к мнимой оси корня.Чем меньше a, тем ближе система к границе устойчивости, тем больше время регулирования. При a = 0 (система на границе устойчивости) время регулирования становится бесконечно большим.

Рассмотрим еще одну характеристику распределения корней: угол q между отрицательной полуосью абсцисс и прямой, проведенной из начала координат к корню с максимальной мнимой частью, рис. 6.8. В этот угол вписывается половина всех наиболее удаленных от мнимой оси корней. Корень с максимальной мнимой частью дает наибольший вклад в колебания. Величину

(6.7)

называют колебательностью системы или коэффициентом затухания системы. Чем меньше угол q, тем меньше колебательность.

 

V

       
   
 
 

 

 


0 U

 

 
 

 


Рис. 6.8.

 

 

 
Пример 6.1.

 

Найти время регулирования для трех характеристических уравнений:

2 p 2 + p + 1 = 0,

p 2 +2 p + 1 = 0,

p 2 + p + 2 = 0.

Требуется, чтобы управляемая величина уменьшилась за время регулирования в е раз. (е = 2,718).

 

1. Корни уравнения 2 p 2 + p + 1 = 0 будут:

p 1 = -0,25 + j 0,66, p 2 = -0,25 – j 0,66.

т.е. a = 0,25. .

2. Корни уравнения p 2 +2 p + 1 = 0 будут:

p 1 = -1, p 2 = -1.

т.е. a = 1, tp = 1 c.

3. Корни уравнения p 2 + p + 2 = 0 будут:

p 1 = -0,5 + j 1,32, p 2 = -0,5 – j 1,32

т.е. a = 0,5, tp = 2 c.

 

 
Пример 6.2.

 

Для переходной функции инерционного звена:

найти, через какое время t * величина h (t) будет отличаться от своего предельного значения на e единиц?

Предельное значение – это k единиц (при t = ∞)

Решение должно подчиняться условию h = k - e при t = t * Введем его в переходную функцию

и получим: e = kexp(- t */ T). Посредством логарифмирования находим:

.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.01 сек.)