Модель оценки финансовых активов

В модели оценки финансовых активов (сокращенно CAPM от capital asset pricing model) предполагается, что все инвесторы имеют полную информацию о всех финансовых активах (т.е. знают ожидаемые доходности , , стандартные отклонения и ковариации ) и действуют рационально (т.е. стремятся увеличить доходность портфеля и уменьшить его риск).

Тогда при наличии безрискового актива каждый инвестор будет строить портфель , обеспечивающий эффективную границу множества инвестиционных возможностей комбинаций безрискового актива и портфелей рисковых активов (см. параграф 7.6).

Такой портфель является решением задачи (60)-(62):

, (60)

, (61)

, (62)

где – тангенс угла наклона луча .

Для простоты ограничимся рассмотрением случая, когда оптимальный портфель задачи (60)-(62) единственен. Тогда (в условиях модели CAPM) все инвесторы будут строить один и тот же портфель . (Вообще говоря, количества финансовых активов в портфелях разных инвесторов могут отличаться, однако доли должны совпадать.) Следовательно, доли финансовых активов в суммарном портфеле всех инвесторов равны соответствующим долям в оптимальном портфеле .

С другой стороны, поскольку суммарный портфель всех инвесторов состоит из всех финансовых активов в экономике, суммарный портфель совпадает с рыночным портфелем.

Следовательно, доли финансовых активов в оптимальном портфеле равны соответствующим долям в рыночном портфеле.

Замечание 16. В рыночном портфеле доли всех финансовых активов положительны (и меньше единицы).

Замечание 17. Поскольку рыночный портфель является (единственным) оптимальным портфелем задачи (60)-(62), коэффициент (соответствующий рыночному портфелю) больше коэффициента любого другого портфеля , т.е

. (84)

Основной результат модели CAPM состоит в том, что для любого финансового актива справедливо равенство:

, (85)

где коэффициент определен формулой:

. (86)

Замечание 18. Отметим, что в условиях рыночной коэффициент также может вычисляться по формуле (98) (см. формулу (68)). Однако в условиях модели CAPM предположения рыночной модели могут не выполняться.

Замечание 19. Из формулы (86) следует, что для безрискового актива , а для рыночного портфеля .

Равенство (85) представляет собой уравнение прямой в координатной плоскости , проходящую через точки и . Эту прямую называют рыночной линией финансового актива (security market line).

1

Докажем равенство (85). Для этого построим портфель следующим образом: портфель представляет собой комбинацию финансового актива i –го вида и рыночного портфеля , причем в такой комбинации доля актива i –го вида равна , а доля рыночного портфеля равна .

Обозначим через и ожидаемую доходность и стандартное отклонение доходности портфеля . В соответствием с определением портфеля из формул (19) и (28) следует, что

, (87)

. (88)

Очевидно, что доли и () финансовых активов в портфеле определяются следующим образом:

, (89)

. (90)

Замечание 20. Мы предполагаем, что доли (рисковых) финансовых активов в рассматриваемых нами портфелях неотрицательны. Для неотрицательности долей и (рассчитываемых по формулам (89) и (90)) необходимо и достаточно, чтобы . Поскольку (в соответствии с Замечанием 16) , значение выражения определено и отрицательно. Следовательно, при достаточно малых по модулю (как положительных, так и отрицательных) значениях портфель состоит из неотрицательных долей финансовых активов. То, что параметр может принимать как положительные, так и отрицательные значения будет использовано ниже при доказательстве равенства (85).

Обозначим коэффицент портфеля , т.е

. (91)

Замечание 21. Поскольку рыночный портфель является оптимальным портфелем задачи (60)-(62), то при любых допустимых значениях (т.е.при ), в соответствии с Замечанием 17,

. (92)

Заметим, что при портфель совпадает с рыночным портфелем , и следовательно, при . Отсюда следует, что

. (93)

Докажем, что

. (94)

Доказательство равенства (94) проведем от противного.

Предположим, что . Тогда, как следует из равенства (93), при достаточно малых по модулю выражение положительно, и, следовательно, при достаточно малых положительных , что противоречит оптимальности рыночного портфеля (см. Замечание 21).

Замечание 22. Если бы , то рыночный портфель можно было бы улучшить, увеличив в нем долю актива i -го вида.

Предположим, что . Тогда, как следует из равенства (93), при достаточно малых по модулю выражение отрицательно, и, следовательно, при достаточно малых отрицательных , что противоречит оптимальности рыночного портфеля (см. Замечание 21).

Замечание 23. Если бы , то рыночный портфель можно было бы улучшить, уменьшив в нем долю актива i -го вида.

Поскольку, как мы доказали, производная не может быть ни положительной, ни отрицательной, то она равна нулю.

Найдем производную . С помощью формулы (91) имеем:

. (95)

При формула (95) примет вид:

. (96)

Из формул (87) и (88) следует, что

, (97)

. (98)

При формула (98) примет вид:

. (99)

Подставив (97), (99) в (96), получим

. (100)

Из формулы (86) следует, что

. (101)

Подставив эту формулу в равенство (100), получим

. (102)

Из равенства производной нулю (см. соотношение (94)) и из формулы (102) очевидным образом следует равенство (85) (основной результат модели CAPM):

, (85)

Замечание 24. Если бы , то (в силу формулы (102)) производная была бы положительной, и, следовательно (см. замечание 22), рыночный портфель можно было бы улучшить, увеличив долю актива i -го вида в портфеле.

Если бы , то (в силу формулы (102)) производная была бы отрицательной, и, следовательно (см. замечание 23), рыночный портфель можно было бы улучшить, уменьшив долю актива i -го вида в портфеле.

Поиск по сайту: