Временная структура кредитного риска

Качество облигаций определяется кредитным риском. Чем выше кредитный риск, тем хуже качество облигаций, и тем выше должна быть доходность облигаций.

Пусть на рынке имеется бескупонная облигация с номинальной стоимостью денежных единиц. Предположим, что номинал облигации либо выплачивается полностью в момент погашения, либо не выплачивается никогда. Обозначим через вероятность выплаты номинала. Тогда – это вероятность дефолта.

0

Размер ожидаемого платежа в момент погашения облигации равен .

Пусть цена облигации в текущий момент времени равна . Обозначим через эффективную доходность. (Эффективная доходность находится из следующего уравнения: . Следовательно, .) В расчете на одну денежную единицу, вложенную в облигации данного вида, обещанный платеж составит денежный единиц, а ожидаемый платеж – д.е.

Пусть на рынке также имеются безрисковые бескупонные облигации с номинальной стоимостью , срок погашения которых совпадает со сроком погашения рассмотренных выше облигаций. (Напомним, что безрисковые облигации – это облигации, вероятность дефолта платежей которых равна нулю.) Для таких облигаций ожидаемый платеж в момент погашения совпадает с номиналом .

Пусть – цена безрисковой облигации в текущий момент времени. Обозначим, через эффективную доходность безрисковых облигаций. (Эффективная доходность находится из следующего уравнения: . Следовательно, .)

Определим вероятность дефолта с помощью доходностей и . Для простоты предположим, что инвесторы нейтральны по отношению к риску, т.е. для них имеет значение только размер ожидаемого платежа. В этом случае должно выполняться равенство:

. (33)

Действительно, если , то нейтральные к риску инвесторы будут избавляться от безрисковых облигаций и покупать рискованные облигации, что приведет к снижению цены на безрисковые облигации и увеличению цены на рискованные облигации, и, следовательно, доходность безрисковых облигаций увеличится, а рискованных облигаций – уменьшится. В случае, если , будет наблюдаться обратная картина. Поэтому, в конечном счете, доходности и примут значения, для которых справедливо равенство (33).

Из равенства (33) вытекает, что

. (34)

Пример 1. Доходность рискованной облигации равна , а вероятность безрисковой облигации – . Требуется определить вероятность дефолта для рискованной облигации (считая, что инвесторы нейтральны к риску).

Решение. Итак, , .

.

– это вероятность выплаты номинала рискованной облигации. Вероятность дефолта равна .

Рассмотрим общий случай. Пусть – временная структура чистых доходностей рискованных облигаций, а – временная структура чистых доходностей безрисковых облигаций. В расчете на одну денежную единицу, вложенную в рискованные бескупонные облигации со сроком погашения в конце периода , обещанный платеж составит д.е., а ожидаемый платеж составит д.е., где – вероятность выплаты в конце периода . В расчете на одну денежную единицу, вложенную в безрисковые бескупонные (возможно синтетические) облигации со сроком погашения в конце периода , обещанный платеж составит д.е. Следовательно, в случае, когда инвесторы нейтральны к риску, справедливо равенство:

. (35)

Отсюда следует, что

. (36)

В случае, когда на рынке отсутствуют рискованные бескупонные облигации, формулу (36) можно получить следующим образом.

Пусть чистые доходности рискованных облигаций получены с помощью облигаций с невырожденной матрицей платежей:

, . (37)

Здесь – k -й платеж облигации i -го вида, – цена облигации i -го вида.

В случае, когда инвесторы нейтральны к риску, должны выполняться следующие равенства:

, . (38)

Равенства (38) означают, что цена инвестиционной стратегии, состоящей в покупке и продаже безрисковых облигаций и выплачивающей платежи , , должна быть равной цене рискованной облигации i -го вида.

Из уравнений (37) и (38) следуют равенства (36). (Действительно, подставив формулы (36) в равенства (38) получим равенства (37).)

Пример 2. Для второго периода чистая доходность рискованных облигаций равна 18%, а чистая доходность безрисковых облигаций – 12%. Требуется найти вероятность дефолта для платежей рискованных облигаций в конце второго периода.

Решение. Итак, , .

.

– это вероятность выплаты платежей рискованных облигаций в конце второго периода. Вероятность дефолта для платежей рискованных облигаций в конце второго периода равна .

Найдем условные вероятности выплаты и дефолта в периоде при условии, что платежи были выплачены во всех предшествующих периодах. (Обозначим такую условную вероятность через ). В соответствии с определением условной вероятности, вероятность равна отношению вероятности выплаты платежей в периодах с первого по k -ый к вероятности выплаты платежей в периодах с первого по (k -1)-ый.

Предположим, что для рискованных облигаций платежи в каждом периоде могут быть выплачены только в том случае, когда были выплачены платежи во всех предшествующих периодах. Тогда вероятность выплаты платежей в периодах с первого по k -ый равна вероятности выплаты платежа в периоде , а вероятность выплаты платежей в периодах с первого по (k -1)-ый равна вероятности выплаты платежа в периоде . Следовательно, в этом случае

. (39)

Пример 3. Чистая доходность рискованных облигаций равна 15,8% для первого периода и 18% для второго периода. Чистая доходность безрисковых облигаций равна 10% для первого периода и 12% для второго периода. Требуется найти вероятность дефолта для платежа во втором периоде при условии, что платеж в первом периоде был выплачен.

Решение. Итак, , , , .

, .

.

– это вероятность выплаты платежа в конце второго периода при условии, что платеж в первом периоде был выплачен. Вероятность дефолта для платежа во втором периоде при условии, что платеж в первом периоде был выплачен, равна .

Условная вероятность может быть также вычислена с помощью форвардных доходностей. Подставив формулу (36) в (37), получим:

. (40)

Поскольку и , из (28) следует, что

. (41)

Поиск по сайту: