Уравнения

1) Точное решение уравнения f(x)=0 производится командой

>solve(f(x), x); ноль в правой части в команде можно не писать.

Решение находится в точном виде или не находится совсем.

>solve(f(x)=g(x), x); находятся корни уравнения f(x)=g(x).

>solve(sqrt(x)=2*x-3, x); 9/4

>solve(x^3+x+10, x); –2, 1+2i, 1–2i

ПРОВЕРКА. >eval(x^3+x+10=0, x=1+2*I); 0=0

2) Приближенное решение уравнения.

>fsolve(f(x), x); отыскиваются приближенные действительные корни уравнения f(x)=0.

>fsolve(f(x), x, complex); отыскиваются приближенные комплексные корни уравнения f(x)=0

>solve(x^3+3*x^2+5*x+3, x);

>fsolve(x^3+3*x^2+5*x+3, x); –1

>fsolve(x^3+3*x^2+5*x+3, x, complex); –1, –1+i 1.414…, –1–i 1.414…

>fsolve(f(x), x, x=a..b); приближенные корни уравнения f(x)=0 на отрезке [a, b].

Примечание. Если в команде разыскиваемый корень обозначать не х, а { x }, то ответом будет не просто число, а равенство { х=а }.

3) Системы уравнений.

>solve({f(x,y), g(x,y)}, {x,y}); точное решение системы {f(x,y)=0, g(x,y)=0}

Вариант команды – сначала задается система. Так легче проверять правильность задания.

>sys:= {f(x,y)=g(x,y), P(x,y)=Q(x,y)};

>solve(sys, {x,y}); решение заданной системы.

Отсутствие результата означает, что система не имеет решения

>solve({x^2+y^2=1, x=y}, {x,y}); {x=RootOf(2z²–1, Label=_L1), y= RootOf(2z²–1, Label=_L1)}

Решение получено в виде корней уравнения 2z²–1=0. Решение помечено ярлыком L1.

Решение в привычном виде находится затем командой

>allvalues(%);

Для приближенного вычисления этой пары решений или какой-либо из этих пар используются команды

>evalf(%); >evalf(%[1]); >evalf(%[2]);

Команда приближенного решения системы имеет вид

>fsolve({f(x,y)=g(x,y), P(x,y)=Q(x,y)}, {x,y}); Иногда команда находит не все решения системы. В этом случае можно добавить интервал для корней опциями х=m..n или y=m..n..

Команда проверки того, что пара чисел (a, b)является решением системы sys, имеет вид

>eval(sys, {x=a, y=b});

Примечание. При решении системы можно не указывать искомые неизвестные

>solve ({eq1, eq2, eq3});

В этом случае программа принимает какие-то неизвестные за свободные и выражает остальные через них. Если число уравнений равно числу неизвестных, то выдается решение.

4) Параметризация уравнения F(x,y)=0.

>solve(x^3+y^3=3*x*y, {x(t), y(t)}); .

5) Решение уравнения f(x) = t в виде ряда

Пусть функция f(x) разлагается в ряд Тейлора f(x)=a0 + a1(x–x0) + a2(x–x0)² +… Тогда решение уравнения f(x) = t будет иметь вид x=x0 + b1(t–a0) + b2(t–a0)² +… Количество членов этого разложения определяется предварительной коман­дой >Order: = n; (по умолчанию n = 6).

Команды для получения этого решения в общем случае имеют вид

>Order: = n:

>x:=solve(series(f(x), x=х0) = t, x);

Если f(x) разлагается в ряд Маклорена (х0=0), то команды для получения решения имеют вид

>Order: = n:

>x:=solve(series(f(x), x) = t, x);

Пример.

>Order: = 4:

>x:=solve(series(x+exp(x), x)=t, x); x:=

6) Определить при каких А и В уравнение F(x, A, B)=0 является тождеством по х.

Примеры.

>F: = 2*x^3+3*x^2+4*x+5=(x^2+x+1)*(A*x+B)+C*x+D;

>solve(identity(F, x), {A,B,C,D}); A=2, B=1, C=1, D=4

--------

>F: = (2*a–3*b)*sin(x)^2+(a–b)*cos(x)^2=1;

>solve(identity(F, x), {a, b}); {a=2, b=1}

-------

>F: = diff(y(x),x,x)+a*diff(y(x),x)+b*y(x);

>y(x): = exp(3*x)*sin(4*x);

>solve(identity(F, x), {a, b}); {a= – 6, b=25}

------

>F: = diff(y(x),x,x)+4*diff(y(x),x)+13*y(x);

>y(x): = exp(a*x)*sin(b*x);

>solve(identity(F, x), {a, b}); {b=0} {a= – 2, b=3} {a= – 2, b= – 3}

-------

>F: = diff(y(x),x,x)+diff(y(x),x)+y(x)= 13*sin(2*x)+13*cos(2*x);

>y(x): = a*sin(2*x)+b*sin(2*x);

>solve(identity(F, x), {a, b}); {a= – 1, b= – 5}

7) Решение уравнения в целых числах

>isolve(2*x+3*y=5); {x=1–3Z1, y=1+2Z1}

Поиск по сайту: