Бесконечные суммы

>sum(n*x^n, n=1..infinity);

>sum(1/n^2, n=1..infinity);

>sum(1/n^10, n=1..infinity);

ПРОИЗВЕДЕНИЯ. Находятся командами >product(f(p), p=N1..N2); или >Product(f(p),p=N1..N2);

Отложенная команда (пишется с большой буквы) не выполняется. На экран выводится общепринятая запись произведения (удобно для проверки).

>Product(f(p), p=m..n);

Команда >value(%); производит затем вычисление этого произведения в точном виде

>Product(n/(n+1), n=1..100);

>value(%); 1/101

Бесконечные произведения

>Product(1+1/n/(n+2), n=1..infinity);

>evalf(%); 2

Для вычисления конечных произведений используются также следующие команды

>mul(f(n),n=2..5); или >mul(f(n),n=[a,b,c]);

ПРЕДЕЛЫ.

MAPLE очень неплохо вычисляет пределы функций с использованием команд

>limit(f(x),x=а); двусторонний предел в точке х=а;

>limit(f(x),x=а, left); предел в точке х=а слева;

>limit(f(x),x=a, right); предел в точке х=а справа;

>limit(f(x),x=infinity); предел на плюс бесконечности;

>limit(f(x),x= – infinity); предел на минус бесконечности;

>limit(f(x),x=infinity, real); предел на плюс-минус бесконечности.

Пример. Найти предел

>limit((cos(x)–sqrt(1–x^2))/(x^2–x*sin(x)), x=0); ответ: 1.

Если команду написать с большой буквы (Limit), то это будет отложенная форма команды. Она не выполняется. Вместо ответа на экран выдается запись предела в нормальном человеческом виде. По этой записи удобно проверять правильность введенной команды. Значение предела можно найти затем по команде >value(%);

Пример.

>Limit(sqrt(x^2+1)/(x+2), x = – infinity);

>value(%); – 1

Односторонние пределы

>Limit((2*exp(1/x)+3)/(exp(1/x)+1), x = 0, left);

>value(%); 3

>Limit((2*exp(1/x)+3)/(exp(1/x)+1), x = 0, right);

>value(%); 2

Комбинация отложенной и исполняемой команд

>Limit(sqrt(2*ln(x)^2+3)/(3*ln(x)+1), x=0) = limit(sqrt(2*ln(x)^2+3)/(3*ln(x)+1), x=0);

= –

Примечание. Пределы от выражений, содержащих десятичные числа, иногда не вычисляются

Пример. . Следует заменить 0.5 на ½.

ОШИБКА ПАКЕТА MAPLE.9.5. Предел ???????? (В пакете MAPLE 11 эта ошибка устранена)

Асимптотика функции на +¥

>asympt(f(x), x, n); (если n не указано, то оно считается равным значению константы, задавае­мой командой >Order: = n; по умолчанию эта константа равна 6).

>asympt(sqrt(x^2+6*x+1),x,3);

>asympt((2*x+3)*exp(1/x),x);

В этих примерах линейная часть асимптотики даёт асимптоту кривой на +¥.

Асимптотика функции y = f(x) на – ¥ вычисляется двумя командами

>asympt(f(– x), x, n);

>subs(x = – x, %);

Можно эти две команды объединить в одну >subs(x = –x, asympt(f(– x), x, n));

Формула Тейлора-Пеано

По команде >series(f(x), x=a, n); или по команде >taylor(f(x), x=a, n); получаем

Командой >coeff(%, (x–a)^k); можно затем определить коэффициент при (х–а)^к.

Формулу Маклорена можно получить командой >f(x):=taylor(f(x),x,n);

f(x):=

Если n не указано, то по умолчанию оно считается равным 6 либо равным значению кон­станты, задаваемой предварительно командой >Order: = n;.

>taylor(exp(x),x,3); 1+x+x²/2+О(x³)

Превращение формулы Тейлора в полином производится командой

>y:= convert(%, polynom); y: = 1+x+x²/2 (можно строить график!)

>plot({exp(x), y}, x = – 2..2); графическое сравнение полинома Тейлора и экспоненты.

Команда >taylor(f(x), x=infinity, n); вычисляет асимптотику функции на +¥:

>taylor(sqrt(x^2+2*x+3), x=infinity, 3); x + 1 + 2/x – 2/x² + О(1/x³)

Работу со степенными рядами обеспечивает пакет >with(powseries);

Формула Тейлора для неявно заданной функции.

Пусть неявно заданная функция определена уравнением f(x, y)=0 и пусть точка (a,b) удовлетворяет этому уравнению. Эта неявная функция является решением следующей задачи Коши:

дифференциальное уравнение >eq:=diff(f(x,y(x)),x); и начальное условие > y(a)=b;

Найдем решение этой задачи Коши в рядах (см. раздел ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ).

>Order:=n; (по умолчанию n=6)

>dsolve({eq,y(a)=b},y(x),series);

Дифференцирование

Отложенная команда >Diff(f(x,y),x,y,y); Результат:

Исполняемая команда >diff(f(x,y),x,y,y);

Производные высокого порядка вычисляются командой

>diff(f(x,y), x$5, y$7);

ПРИМЕЧАНИЕ. В MAPLE 11 производные от функции одной переменной можно вычислять при помощи «степени» в круглых скобках: (x*exp(x))⁽⁵⁾. Но, к сожалению, аргумент в этих случаях следует обозначать ТОЛЬКО буквой х. Для произвольного аргумента следует сначала задать функцию командой >y:=z–>z*exp(z); а затем выполнить команду >y⁽⁵⁾(z); либо >y⁽⁵⁾(u);

Дифференциал

>y:= sqrt(5–x^2);

>dy:=diff(y,x)*dx;

Численное значение дифференциала >subs(x=2,dx=0.03, dy); – 0.06

>z:= x^2*y^3; z: = x² y³

>dz:= diff(z,x)*dx+diff(z,y)*dy; dz: = 2 x y³ dx + 3 x² y² dy

Численное значение дифференциала >subs(x=1,y=1,dx=0.01, dy=0.01, dz); 0.05

Проверить, что функция z = ln(x²+y²) является гармонической

>z:= ln(x^2+y^2):

>diff(z,x,x)+diff(z,y,y);

>simplify(%); 0

Примечание. Для нахождения производной от функции ОДНОЙ переменной кроме команды diff имеется ещё команда D(y)(x). Результатом этой команды является функция (вместо х можно что-то подставлять).

Пример. >y:=x–>x^2;

>diff(y(x),x); 2x. Здесь нельзя вычислять diff(y(7),x); Получим ноль!

>D(y)(x); 2x. Здесь можно вычислить D(y)(7); Получим 14.

В MAPLE 11 можно задать функцию y:=x–>x³, а затем найти значение производной в заданной точке при помощи команды типа y⁽²⁾(4).

Производная от неявно заданной функции.

Пусть неявная функция у=y(x,z) задана уравнением F(x,y,z)=0. Производная от этой неявной функции находится по команде

>implicitdiff(F(x,y,z),y,z); производная от функции у=y(x,z) по переменной z.

>implicitdiff(F(x,y,z),y,z,x); 2-я производная от у=y(x,z) по переменным z, x.

Интегрирование

1) Неопределенный интеграл.

Отложенная команда пишется с большой буквы. Результат удобен для проверки.

>Int(exp(sqrt(x)),x);

>value(%);

Исполняемая команда >int(exp(x/2), x); 2 e^x/2

Можно сочетать отложенную и исполняемую команды

>Int(x*exp(x),x)= int(x*exp(x),x); .

Примечание. В некоторых случаях программа использует в ответе непривычные обратные ги­перболические функции arcsinh(x), arccosh(x), arctanh(x). В этом случае для получения резуль­тата в привычном виде можно применить команду >convert(%, ln);

2) Определенный интеграл

Отложенная команда >Int(exp(sqrt(x)), x=0..4);

>value(%); 2 e² + 2

>evalf(%) 16.77811220

Исполняемая команда >int(sqrt(x), x=1..2);

>evalf(%); 1.218951415

Их сочетание >Int(sqrt(x),x=1..2)= int(sqrt(x),x=1..2);

3) Двойной интеграл

Отложенная команда >Int(Int(2*x*y, y = –x..x^2), x=0..1);

>value(%);

>evalf(%); –.08333333333

Исполняемая команда >int(int(2*x*y, y = –x..x^2), x=0..1);

Много команд, связанных с интегрированием, находятся в пакете STUDENT, который подгружа­ется командой >with(student):. Эти команды носят иллюстративный учебный характер:

4) Замена переменной в неопределенном интеграле. >with(student):

>changevar(x=x(t), Int(f(x), x), t);

Замена переменных может производится также в виде x(t)=x, t=t(x), t(x)=t

Поиск по сайту: