Анализ общего решения дифференциального уравнения изгиба балки на упругом основании

Как нетрудно видеть из (17.9), общее решение включает выра­жения для затухающей и возрастающей гармоник или, иными сло­вами, для двух затухающих гармоник, одна из которых затухает по направлению к правому концу балки, а другая - к левому. Затуха­ние здесь довольно быстрое. Чтобы установить его степень, увели­чим x на . Тогда получим

(17.10)

Анализируя полученный результат, приходим к выводу, что первое слагаемое получило множитель , а вто­рое слагаемое . Таким образом, при переходе к следующей полуволне значение первого слагаемого (17.10) уменьша­ются в 23,14 раза, а второго слагаемого - увеличивается во столько же раз.

В случае длинной балки члены уравнения, содержащие мно­житель , для правого ее конца становятся очень большими. Так как в действительности там деформации и внутренние силы имеют конечную величину, то коэффициенты С ₃ и С ₄ при членах, содержащих множитель , должны быть очень малыми и для достаточно длинной балки практически обращаться в нуль. В этом случае общее решение упрощается и получает вид

(17.11)

На расстоянии трех полуволн от левого конца балки члены общего решения с постоянными интегрирования С ₁ и С ₂ практически исчезнут. Поэтому балку длиной можно счи­тать бесконечно длинной. Точнее ее можно рассчитывать, как бес­конечно длинную, поскольку уже в середине ее влияние концевых граничных условий будет сказываться очень мало. Практически принимают, что если , то балка принимается бесконечно длинной (бесконечно длинная балка).

К общему решению (17.9) надо до­бавить частное решение , зави­сящее от нагрузки . Если нагрузка представляет собой алгебраиче­ский полином от x, то частное реше­ние можно найти в виде полинома той же степени методом неопреде­ленных коэффициентов. В частности, для линейной функции вида (рис.17.2), частное решение уравнения (17.5) имеет вид

. (17.12)

Рис. 17.2

При отсутствии приложенной к бал­ке нагрузки, т.е. при q = 0, момент и по­перечная сила на них равны нулю; этому вполне удов­летворяет частное решение (17.12) и до­бавлять к нему об­щее решение не тре­буется. Следователь­но, (17.12) будет пол­ным решением, и балка не будет изгибаться. Очевидно, что внут­ренние силы в ней везде равны нулю.

Рис. 17.3

Если балка имеет на концах какие-либо закрепления, например опоры (рис.17.3), то в ней появляются изгибающие моменты и кри­визна оси, которые можно определить общим методом нахождения произвольных постоянных общего решения по граничным усло­виям.

Поиск по сайту: