АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Применение МКЭ для расчета стержневых систем

Читайте также:
  1. A) к любой экономической системе
  2. A) прогрессивная система налогообложения.
  3. C) Систематическими
  4. CASE-технология создания информационных систем
  5. I СИСТЕМА, ИСТОЧНИКИ, ИСТОРИЧЕСКАЯ ТРАДИЦИЯ РИМСКОГО ПРАВА
  6. I. Основні риси політичної системи України
  7. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ (ТЕРМИНЫ) ЭКОЛОГИИ. ЕЕ СИСТЕМНОСТЬ
  8. I. Суспільство як соціальна система.
  9. I. Формирование системы военной психологии в России.
  10. I.2. Система римского права
  11. II. Цель и задачи государственной политики в области развития инновационной системы
  12. II. Экономические институты и системы

 

Расчет стержневых систем с помощью МКЭ приводит к тем же уравнениям, что и обычный метод перемещений, хотя подходы к их построению несколько отличаются по форме.

При этом КЭ рамы с 6 степенями свободы имеет на концах два узла, в каждом из которых введено по три связи – две линейных и одной моментной.

Матрица жесткости такого КЭ имеет 6 порядок и ее элементами являются реакции rij в шести введенных связях от единичных смещений этих связей.

Компонентами вектора приведеннойузловой нагрузки являются взятые со знаком минус реакции во введенных связях от приложенной к КЭ нагрузки, которые, в отличие от МП будем обозначать не Rip 0, а rip 0:

 

{ P э}= – [ r 1 p 0, r 2 p 0, …, r 6 p 0]Т,

 

где индексом «т» обозначена операция транспонирования.

Балочный конечный элемент, на примере которого мы рассмотрим процедуру анализа, имеет только четыре степени свободы. В качестве неизвестных такого КЭ выбирают неизвестные прогибы и углы поворотов в начальном и конечном сечениях, как и в обычном методе перемещений (рис. 7.1, а).

Анализ КЭ заключается в определении реакций во введенных связях { S э}= [ S 1, S 2, S 3, S 4]Т от кинематических воздействий { Z э}= [ Z 1, Z 2, Z 3, Z 4]Т и от действующей местной нагрузки. Первая зависимость имеет вид:

 

{ S э} = [ R э]{ Z э}.

 

Для построения матрицы жесткости [ R э] рассмотрим КЭ при единичных кинематических воздействиях (рис. 7.1, б), объединив соответствующие им функции формы в матрицу-строку:

 

[ N ] = [ N 1(x), N 2(x), N 3(x), N 4(x)].

 

Этим функциям формы соответствуют уже известные эпюры моментов, приведенные на рис. 6.4 и 7.1, в, которые также объединим в вектор:

 

{ M } = [ M 1(x), M 2(x), M 3(x), M 4(x)]Т.

 

Учитывая, что для принятой системы координат зависимость между изгибающими моментами и прогибами имеет вид

 

M (x) = – EJ v'' (x),

можно записать:

 

{ M } = – EJ [ N '' ]Т. (7.2)

 

Воспользовавшись соотношением (6.4):

 

rij = rji = Sò(`Mi 0 · `Mj 0/ EJ) ds,

получим с учетом (7.2):

 

[ R э] = (1/ EJ) ∫{ M }{ M }Т dx = EJ ∫ [ N '' ]Т[ N '' ] dx. (7.3)

 

Для построения вектора приведеннойузловой нагрузки учтем, что на основании принципа суперпозиции уравнение изогнутой оси КЭ можно представить в виде:

v (x) = Σ Ni (x) · Zi = [ N ]{ Z э}. (7.4)

 

Поэтому, дополнив соотношение (6.5) работой распределенной нагрузки, приложенной к КЭ, и сменив обозначения, получим:

 

rip 0 = – [S Pk · Nik + ∫ q (x) · Ni (x) dx ].

 

Таким образом, искомый вектор приведеннойузловой нагрузки равен:

 

{ P э}= S Pk ·[ N k ]Т + ∫ q (x) [ N ]Т dx. (7.5)

Как видим, анализ КЭ сводится в конечном итоге к построению матрицы функций формы. Помимо методов, упомянутых в параграфе 6.3, эти функции можно, например, построить следующим способом.

Представим уравнение изогнутой оси КЭ в виде полинома:

 

v (x) = [ H ] { a }, (7.6)

 

где [ H ] = [1, x, x 2, x 3], а { a } = [ a 1, a 1, a 1, a 1]Т.

Приравнивая (7.4) и (7.6) в узловых точках КЭ, то есть x 1 = 0 и x 2 = l, получим:

Z 1 = v (0) = 1 + a 1 x 1 + a 2 x 12 + a 3 x 13;

Z 2 = v' (0) = a 1 + 2 a 2 x 1 + 3 a 3 x 12;

Z 3 = v (l) = 1 + a 1 x 2 + a 2 x 22 + a 3 x 23;

Z 4 = v' (l) = a 1 + 2 a 2 x 2 + 3 a 3 x 22,

 

или иначе

{ Z э} = [ L ] { a },

 

где [ L ] = [[ H (x 1)]T, [ H' (x 1)]T, [ H (x 2)]T, [ H' (x 2)]T]Т.

Обратная зависимость

 

{ a } = [ L ]–1{ Z э}

 

после подстановки в (7.6) приводит с учетом (7.4) к искомой формуле:

 

[ N ] = [ H ] [ L ]–1. (7.7)

 

В скалярной форме последняя зависимость имеет вид:

 

N 1(x) = 1 – 3ξ2 + 2 ξ3;

N 2(x) = l (ξ – 2 ξ2 + ξ3);

N 3(x) = 1 – 3η 2 + 2η 3;

N 4(x) = l (– η + 2η 2 – η 3),

 

где ξ = x / l, η = (lx)/ l.

Подставляя (7.7) в (7.3), получим искомую матрицу жесткости КЭ балки:

 

[ R э] = EJ ∫ [ N¢¢ ]T×[ N¢¢ ] dx = (EJ / l) .

 

Вектор приведенной узловой нагрузки находим по формуле (7.5). Для постоянной равномерно распределенной нагрузки q (x) = q он имеет вид:

 

{ P э} = [ P 1, P 2, P 3, P 4]Т = (ql /12)[ 6, l, 6, – l ]Т.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)