Формула Верещагина

Интеграл (3.17) можно вычислить аналитически, однако если жесткости стержней постоянны, удобнее воспользоваться другим способом, который обычно и применяют на практике.

Рис.3.12

Учитывая, что эпюра `M<sub>i</sub> от единичного силового фактора является кусочно-линейной, можно выбрать промежутки [ a,b ], где она будет просто линейной. Тогда выбирая начало локальной системы отсчета так, как показано на рис. 3.12, б, ее уравнение можно записать в виде: `M_i (x) = tga× x. При этом интеграл в (3.17) примет вид:

(M_p`M_i / EJ) dx = (tga/ EJ) x × M_p dx. (3.19)

Обозначая через w площадь эпюры M_p:

w = d w = M_p dx,

и учитывая, что ее статический момент относительно оси Oy равен:

S_y = xd w = w× x_c,

представим (3.19) в виде:

(tga/ EJ) x × M_p dx = (tga/ EJ) xd w= (tga/ EJ) x_c ×w = (w y_c)/ EJ,

где y_c = tga× x_c.

Возвращаясь к формуле (3.17), получим:

D _ip = S (w _ky_ck)/(EJ_k). (3.20)

Таким образом, чтобы перемножить две эпюры, из которых хотя бы одна является линейной, нужно вычислить площадь криволинейной эпюры – w и умножить ее на ординату y_c в линейной эпюре, вычисленную под центром тяжести криволинейной.

Для реализации формулы (3.20) остается рассмотреть геометрические характеристики стандартных эпюр (рис. 3.13), где две последние – соответствуют эпюрам от равномерно распределенной нагрузки. Поскольку любую нестандартную эпюру можно представить комбинацией стандартных, с помощью последних можно перемножить произвольные эпюры.

Рис.3.13

Примечания:

1. При выводе формулы (3.20) криволинейная эпюра M_p с площадью w предполагается однозначной. Если это условие не выполнено, ее представляют комбинацией двух или большего числа стандартных эпюр.

2. Для вычисления интеграла (3.17) можно применять формулы численного интегрирования, в том числе – формулу Симпсона:

= [ (b – a)/6] { f (a) + 4 f [ (a + b)/2] + f (b)},

которая позволяет получить точный результат, если функция f (x) является многочленом до третьей степени включительно.

Таким образом, если на всем промежутке [ a, b ] эпюра `M_i линейна, а эпюра M_p является квадратичной параболой, интеграл (3.17) можно вычислить по формуле:

D _ip =S(l_k /6 EJ_k) { M_p (a_k)× `M<sub>i</sub> (a<sub>k</sub>) +4 M<sub>p</sub> [ (a<sub>k</sub> + b<sub>k</sub>)/2]× `M_i [ (a_k + b_k)/2] +M_p (b_k) × `M_i (b_k) }. (3.21)

При этом однозначности эпюры M_p на промежутке [ a, b ] не требуется, а формулу можно, конечно, применять и для линейной функции M_p (x).

Поиск по сайту: