Теплоемкость кристаллической решетки

Носителями энергии равновесного теплового излучения согласно концепции Планка являются стоячие (электромагнитные) волны. При этом энергия для каждой частоты отмеряется “порциями”, квантами ћw, количество которых определяется распределением Больцмана:

.

И весьма интересно, что в совсем другой задаче, задаче о теплоемкости кристаллической решетки опять-таки “проходит” такой же подход.

Однако, сначала нужно сказать несколько слов об истории вопроса. Содержащий N атомов кристалл имеет 3N степеней свободы - столько значений координат необходимо для описания положения атомов. Согласно классическим представлениям на каждую степень свободы должна приходиться энергия kT: по kT/2 на кинетическую и на потенциальную энергию. Отсюда следует закон Дюлонга и Пти, согласно которому молярная теплоемкость Cm всех кристаллов одинакова:

.

Здесь NA - число Авогадро, R - универсальная газовая постоянная.

И действительно, при достаточно высоких температурах этот закон оказывается справедливым, но он нарушается при низких температурах. И причина в том, что при низких температурах и при достаточно высоких частотах колебаний оказывается ћw>kT, а между тем величина ћw - минимальная порция энергии на частоте w. Значит, при низкой температуре невозможна энергия kT на степень свободы.

Поправить дело попытался Эйнштейн. Он ввел квантование для энергий колебаний отдельных атомом кристалла (3N осцилляторов), введя для каждого среднюю энергию . При этом распределение осцилляторов по энергиям он считал подчиняющимся распределению Больцмана.

Полученное им выражение качественно верно описывало поведение теплоемкости и вблизи нулевой температуры. Но много более точный результат был получен Дебаем.

Дебай посчитал, что колебания отдельных атомов не являются независимыми - колебания одного атома вынуждают колебания соседних атомов. Иначе говоря, колебания представляют собой стоячие волны. Любопытно, но количество возможных стоячих волн должно совпадать с числом степеней свободы - 3N.

Собственно, рассуждения Дебая в основном повторяют рассуждения Планка. Выбрав некий объем в виде прямоугольного параллелепипеда V=abd, подсчитывается количество возможных стоячих волн. Условия существования стоячей волны остается прежним: произведение составляющей волнового вектора на соответствующий размер тела должен быть равен целому числу p.

Для струны это сводится к условию кратности ее длины длине полуволны:

.

Для прямоугольной пластины площадью S=ab необходимое условие будет

.

При таком условии вышедшая из некоторой точки волна после отражений от краев пластины возвращается в то же точку с той же фазой.

2   a   b

Пояснение этому утверждению дается рисунком. Введем радиус-вектор, соединяющий точки 1 и 2

.

Движение волны вдоль этого радиус-вектора эквивалентно распространении волны в пределах пластины. И поскольку

,

волна из точки 1 в точку 2 прийдет с изменение фазы на целое число 2p. Значит, это утверждение справедливо и для распространения волны в пределах пластины из точки 1 и, - после отражений, снова в точку 1.

kZ   Dk     k kX kY

Перейдем теперь к трехмерному кристаллу размерами a×b×d. При этом добавляется еще условие .

На рисунке схематически показана 1/8 часть сферы радиуса k в пространстве k-векторов и соответствующая часть сферического слоя толщиной Dk. На один конец k-вектора приходится объем . Следовательно, количество k - векторов с модулем в пределах от k до k+Dk и положительными проекциями на оси будет

.

Мы учитываем только k-векторы с положительными проекциями на оси. Смена знака одной из проекций происходит при отражении волны, но это та же волна, повторно учитывать ее не следует.

Количество таких k-векторов на единицу объема кристалла

.

Поскольку , мы можем перейти в этом выражении к частотам. Кроме того, необходимо еще добавить множитель 3, поскольку упругие колебания могут происходить в направлении распространения волны и в двух взаимно перпендикулярных поперечных направлениях. Таким образом, переходя к дифференциалам, получаем

.

Такова плотность стоячих волн в кристалле. Однако с подсчетом энергии колебаний здесь возникают некоторые особенности, о которых речь пойдет ниже.

Тонкая линза Простейшей центрированной оптической системой является линза. Она представляет собой прозрачное (обычно стеклянное) тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями (в частном случае одна из поверхностей может быть плоской). Точки пересечения поверхностей с оптической осью линзы называются вершинами преломляющих поверхностей. Расстояние между вершинами именуется толщиной линзы. Если толщиной линзы можно пренебречь по сравнению с меньшим из радиусов кривизны ограничивающих линзу поверхностей, линза называется тонкой.

Поиск по сайту: