АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Розділ 8.2. Диференціальна функція розподілу та її властивості

Читайте также:
  1. V. Для дискретної випадкової величини Х, заданої рядом розподілу, знайти:
  2. А) Властивості бінарних відношень
  3. Атрибутивні ознаки і властивості культури
  4. Б) Основні властивості операцій над множинами
  5. Біноміальний закон розподілу
  6. БУДОВА Й ЕЛЕКТРИЧНІ ВЛАСТИВОСТІ НАПІВПРОВІДНИКІВ
  7. Вектор-функція скалярного аргументу
  8. Випадкові змінні х та у стохастично залежні, якщо зміна однієї з них викликає зміну розподілу другої (умовний розподіл однієї з них залежить від значень другої).
  9. Виробництво та виробнича функція
  10. Висновки до 3 розділу
  11. ВІДЦЕНТРОВІ ПИЛЕОСАДНІІ СУСПЕНЗІЙНО- РОЗДІЛЬНІ АПАРАТИ (ЦИКЛОНИ)
  12. Властивості дисперсії

 

 

Нехай випадкова величина – неперервна, тоді функція розподілу F(x) теж неперервна. Нехай в околі точки х функція F(x) є диференційованою.

Означення: Диференціальною функцією розподілу f(x) називають першу похідну інтегральної функції F(x), тобто

 

. (8.5)

 

Властивість 1: Диференціальна функція є невід’ємною

 

.

 

Доведення

 

Ця властивість випливає із означення диференціальної функції як похідної від неспадної функції розподілу F(x). Геометрично це означає, що графік диференціальної функції розміщений або над віссю абсцис, або збігається з нею. Графік диференціальної функції називається кривою розподілу.

 

Властивість 2: Ймовірність того, що неперервна випадкова величина прийме значення з інтервалу дорівнює визначеному інтегралу від диференціальної функції, взятому в межах від а до b, тобто

 

(8.6)

 

 

Із наслідку 2 розділу 8.1 маємо

 

 

Якщо покласти у формулі (8.6) і застосувати теорему про середнє значення у визначному інтегралі, то її можна представити

 

 

Розділивши обидві частини в останній рівності на , отримаємо

 

 

Останнє відношення є середньою щільністю розподілу ймовірностей на проміжку . Якщо перейти до границі при то отримаємо

 

. (8.7)

 

Формула (8.7) задає диференціальну функцію розподілу як щільність розподілу ймовірності неперервної випадкової величини в даній точці. У зв’язку з цим функцію f(x) називають диференціальною функцієюрозподілу або щільністю розподілу.

Приклад:

Дана диференціальна функція випадкової величини. Знайти ймовірність того, що за результатом випробування випадкова величина прийме значення з інтервалу (0,3; 1), якщо диференціальна функція дорівнює

 

Рішення

 

За формулою (8.6)

 

Властивість 3: Інтегральна функція розподілу може бути виражена через диференціальну

(8.8)

 

Доведення

 

 

Покладемо у формулі (8.8) маємо

 

Приклад:

Знайти інтегральну функцію за даною диференціальною функцією

 

Рішення

 

Якщо , тоді f(x)=0 F(x)=0. Якщо , тоді

 

Якщо ж , тоді

 

Властивість 4: Інтеграл у нескінченних межах від диференціальної функції дорівнює одиниці

(8.9)

 

Доведення

 

Цей вираз є ймовірністю події, яка полягає у тому, що випадкова величина прийме значення, яке належить , тобто є ймовірністю достовірної події, а ймовірність достовірної події дорівнює одиниці.

Геометрично це означає, що вся площа, обмежена віссю абсцис і кривою щільності розподілу, дорівнює одиниці. У цьому є аналогія щільності розподілу гістограми питомих відносних частот для статистичного ряду.

 

Приклад:

Диференціальна функція розподілу випадкової величини задана рівністю , знайти параметр а.

 

Рішення

 

За формулою (8.9) одержуємо

 

тому що

 

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.009 сек.)