|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Лекция № 40
4.3. ЛОДУ-2 с постоянными коэффициентами
Общий вид ЛОДУ-2 , (1) где Будем искать решение этого уравнения в виде . Подставим в уравнение (1): (2) Уравнение (2) называется характеристическим уравнением. В зависимости от значений корней характеристического уравнения возможны следующие три случая: 1. Корни уравнения и действительные и . Тогда, очевидно, что и . Эти решения ЛНЗ, так как В этом случае общее решение примет вид . (3) Пример 1. Найти общее решение уравнения Составим характеристическое уравнение: Воспользуемся формулой (3): . 2. Корни и действительные и Тогда в качестве первого частного решения можно взять . Покажем, что в этом случае, является решением также функция . Подставим её в уравнение и с учетом теоремы Виета, получим . Эти решения ЛНЗ, так как В этом случае общее решение примет вид . (4) Пример 2. Найти общее решение уравнения Составим характеристическое уравнени Воспользуемся формулой (4) . 3. Корни комплексно-сопряженные, т.е. . Вначале покажем, что если является решением уравнения (1), то этому уравнению удовлетворяют функции u и v. Подставим в уравнение (1) и выделим действительную и мнимую части: Подчеркнутый член и выражение в скобках равны нулю. Итак, в этом случае частные решения имеют вид и . Если воспользоваться формулой Эйлера, которая будет доказана позже, , то и, как показано выше, решениями уравнения (1) будут являться функции: Очевидно, линейно-независимыми среди них будут , Так как Окончательно, общее решение будет иметь вид . (5) Пример 3. Найти общее решение уравнения . Составим характеристическое уравнение: Воспользуемся формулой (5): .
4.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
Общий вид линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (ЛНДУ-2) (6) где функции непрерывны на некотором отрезке . Ему соответствует однородное уравнение (7) Пусть известно общее решение уравнения (7) . (8) Теорема (о структуре общего решения ЛНДУ-2). Общее решение ЛНДУ-2 является суммой частного решения уравнения (6) и общего решения соответствующего однородного (7). Вначале покажем, что является решением уравнения (6), для чего подставим его в уравнение (6) и сгруппируем члены . Сумма первых трёх членов левой части равенства равна нулю, так как - общее решение однородного уравнения, а сумма остальных трёх членов равна , так как - есть частное решение уравнения (6). Таким образом, является решением уравнения (6). Теперь покажем, что для любых начальных условий вида можно найти значения и , при которых решение удовлетворяло бы им. Подставим решение в эти условия, тогда получим систему (9) Система (9) является линейной системой для определения и с определителем так как и - ЛНЗ решения уравнения (7). Из решения системы (9) определяем и . Таким образом, является общим решением уравнения (6). Замечание. Если - функции от х, то не существует общих методов интегрирования уравнений (6) и (7). Рассмотрим случай, когда известно общее решение соответствующего однородного уравнения.
4.5. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
Пусть нам известно общее решение уравнения (7), т.е. . Тогда решение уравнения (6) будем искать в виде . Продифференцируем это равенство: В силу произвольности выбора функций и положим (10) Тогда Подставляя в уравнение (6) и группируя члены, получаем (11) Выражения в скобках в формуле (11) равны нулю, объединяя полученные результаты, приходим к системе (12) из которой единственным образом находим и , так как её опре-делитель является определителем Вронского . И тогда Пример 4. Методом вариации произвольных постоянных найти общее решение уравнения Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения Составим характеристическое уравнение Воспользуемся формулой (4) . Здесь . Составим систему (12) Интегрируя последнее уравнение системы, находим , а из первого уравнения определяем Окончательно получим общее решение Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.008 сек.) |