|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Тема 2: Дифференциальные уравнения первого порядка2.1. Общие понятия. Теорема существования и единственности
Общий вид дифференциального уравнения первого порядка (ДУ-1) . (2) Если уравнение можно разрешить относительно производной, то , (3) где функция определена в некоторой области D. Для примера рассмотрим уравнение Нетрудно убедится в том, что его решением является функция , где С - произвольная постоянная. И на любых других примерах можно убедится в том, что любое решение ДУ-1 есть бесконечное множество функций, которые определяются формулой, содержащей одну произвольную постоянную С, т.е. имеют вид или . (4) Определение 4. Общим решением или общим интегралом уравнения (2) или (3) называется функция (4) удовлетворяющая условиям: 1. Обращает в тождество уравнение при любых значениях С; 2. Для любой точки можно найти такое значение постоянной для которого или . Давая произвольной постоянной С различные числовые значения, из общего решения получим так называемые частные решения. Для того, чтобы из общего решения выделить конкретное частное решение, необходимо задать начальное условие, т.е. условие вида или . (5) В этом случае задача о нахождении частного решения называется задачей Коши. Пример 1. Решить задачу Коши: Как было показано, общее решение имеет вид . Определим константу С, исходя из начального условия - решение задачи Коши. Теорема Коши. Если в дифференциальном уравнении функция непрерывна в некоторой области D, содержащей точку , то существует решение этого уравнения, удовлетво-ряющее начальному условию . Если, кроме этого, в этой области непрерывна производная , то решение уравнения единственно. Пример 2. Найти область единственности решения ДУ . Здесь . Тогда и при возможно нарушение единственности решения. Во всех остальных точках решение единственное.
2.2. Уравнения с разделяющимися переменными
Рассмотрим ДУ-1 (3). Если , то уравнение (3) можно пред-ставить в виде . Если к тому же , то . (6) Пусть в уравнении (6) выполняются условия: , тогда оно примет вид . (7) Определение 5. Уравнение (7) называется уравнением с разделяющи-мися переменными. Разделим уравнение (7) на произведение , тогда получим (8) Интегрируя уравнение (8), получим его общий интеграл (9) Замечание 2. Особого внимания требуют точки, где обращаются в нуль функции и . Пусть, например, . Тогда уравнение (7) наряду с решением (9) имеет и решение . Аналогично, если , то является решением уравнения (7). Пример 3. Найти общее решение уравнения . Преобразуем уравнение: или , при этом . Интегрируя уравнение, получим или К этому решению нужно добавить решение вида , а решение вида входит в общее решение при . Окончательно, имеем Пример 4. Решить задачу о радиоактивном распаде вещества: Разделим переменные: Интегрируя, получим или . Если известна начальная масса M 0 при , тогда и . Определим коэффициент k из наблюдений. Пусть за время t 1 масса вещества стала равной M 1. Тогда или Таким образом, получили конкретный вид закона изменения заданной массы радиоактивного вещества в зависимости от времени.
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.) |