АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
|
Показательные уравнения
Простейшие показательные уравнения имеют вид: .
Уравнение при и при корней не имеет, так как показательная функция всегда положительна.
Если в уравнении присутствуют показательные функции с разными основаниями, можно попытаться привести их к одному и тому же основанию. То же относится и к логарифмическим уравнениям.
- при , ;
- .
§ 2. Методы решения показательных уравнений
| При решении показательных уравнений необходимо помнить, что решение любого показательного уравнения сводится к решению “простейших” показательных уравнений, то есть уравнений вида:
1. af(x)=ag(x) или 2. af(x)=b.
Очевидно, что уравнение типа 2 сводится к уравнению типа 1 с помощью основного логарифмического тождества:
2! af(x)= .
Уравнение (1) равносильно уравнению f(x)=g(x) при а > 0, а ¹ 1.
Этот переход называется потенцированием.
| Способы решения показательных уравнений
| 1 тип: приведение к одному основанию левой и правой частей, применяя свойства степеней:
а) .
Проверка: ; ; = ;
б) .
Решение: ; ; ;
; ; ;
(х+5)(х–3)=(х+25)(х–7); х2+5х–3х–15=х2+25х–7х–175; 16х=160; х=10.
Проверка: х=10. ; ; ;
; = – верно.
Ответ: х=10;
в) .
Решение: ; ; ; ; ; x=1.
Проверка: ; ; = – верно.
Ответ: х=1;
г) .
Решение: ; ½3х–4½=4х–4,
для х ³ имеем ½3х–4½=3х–4 и тогда уравнение запишем в виде 3х–4=4х–4; –х=0; х=0; для х < имеем ½3х–4½=4–3х и уравнение запишем в виде 4–3х=4х–4; –7х=–8; х= .
Проверка: х=0. ; ; – не верно.
х= . ; ; – верно.
Ответ: х= .
2 тип – уравнения вида P(ax)=0, где P(y) – многочлен 2 или 3 степени, или уравнения, сводящиеся к ним. Такие уравнения решаются методом подстановки: ax=y, решаем уравнение P(y)=0, находим его корни yi и потом решаем простейшее уравнение ax= yi.
Пример: а) .
Решение: .
Обозначаем: = y; 3y2–10y+3=0; D=25–9=16; y1=3; y2= .
Получаем: 1. =3; ; ; х1=2.
2. = ; ; ; х2=–2.
Проверка: 1. ; 3×9–10×3+3=0 – верно.
2. ; ; – верно.
Ответ: х=2; х=–2;
б) .
Решение: . Пусть 4х=y, y2+12y–64=0,
y1,2=–6± =–6±10,
y1=4; y2=–16 (п.к.), т.к. 4х > 0, 4х=4 Þ х=1.
Проверка: ; 16+3×16–64=0; 16+48–64=0 – верно.
Ответ: х=1;
в) .
Решение: , .
Пусть , , ,
,
; ; ; ; ; ; x=20.
Проверка: x=20. , – верно.
Ответ: х=20.
г) .
Решение: . Пусть ; тогда уравнение запишем в виде ; y1,2=2 ; y1=3 и y2=1; или ; x2–1=1; x2–1=0; x= ; x=±1.
Проверка: x= ; ; 9–12+3=0 – верно;
х=±1; ; 1–4+3=0 – верно.
Ответ: x= ; х=±1.
3 тип – метод вынесения общего множителя за скобки:
а) .
Решение: ; ; ;
; ; ; х=0.
Проверка: ; ; 0,992=0,992 – верно.
Ответ: х=0;
б) .
Решение: ; ;
; ; х=0.
Проверка: ; 49–1+2–2=48; 48=48 – верно.
Ответ: х=0;
в) .
Решение: ; ;
; ; ; ; х=2.
Проверка: ; ; 2–8+3=–3;
–3=–3 – верно.
Ответ: х=2.
4 тип – уравнения вида решаются путем деления членов на или .
а) .
Решение: Делим на .
; .
Положим , тогда имеем ; . Решаем это уравнение и получаем y1=1, y2= . следовательно: ; .
Проверка: х=0; ; 3+2=5 – верно;
х= ; ; 12+18=30 – верно.
Ответ: х=0; х= .
б) .
Решение: ; . Разделим обе части данного уравнения на . ; . Пусть , тогда уравнение примет вид: ; , ; ; ;
; .
Проверка: ; . Делим на .
; ; ;
6=6 – верно;
; . Делим на ;
; ; 6=6 – верно.
Ответ: ; .
| Логарифмические уравнения
Простейшие логарифмические уравнения имеют вид:
-
-
§ 3. Методы решения логарифмических уравнений
| Решение любого логарифмического уравнения также сводится к решению одного или нескольких простейших логарифмических уравнений:
1) logaf(x)= logag(x); 2) logaf(x)=b.
Уравнение (2) сводится к уравнению вида (1): logaf(x)= logaab.
Уравнения вида (1) сводятся к решению уравнений f(x)= g(x) (потенцирование). При этом необходимо помнить, что уравнения logaf(x)= logag(x) и f(x)= g(x) не равносильны. При потенцировании происходит расширение области определения, а значит имеется опасность появления посторонних корней. Проверка – наилучшее средство против такой опасности.
1 тип – по определению логарифма:
а) .
Решение: ; 2x–1=9; x=5.
Проверка: ; ; ; –2=–2 – верно.
Ответ: х=5.
б) .
Решение: ; ; ;
; х1=–1 и х2=–3.
Проверка: х=–1, log3(1–4+12)=2; log39=2; 2log33=2; 2=2 – верно;
х=–3, log3(9–12+12)=2; log39=2; 2log33=2; 2=2 – верно.
Ответ: х=–1, х=–3.
в) .
Решение: ; . Пусть , тогда уравнение запишем в виде ; ;
; ; ; ; ; x=2; .
Проверка: ; – верно.
Ответ: х=2.
2 тип – уравнения, которые с помощью логарифмических тождеств сводятся к простейшим уравнениям:
а) lg(x–3)+lg(x–2)=1–lg5.
Решение: lg[(x–3)(x–2)]=lg10–lg5; lg(x2–5x+6)=lg2;
x2–5x+6=2; x2–5x+4=0; x1,2= ; x=4 и х=1.
Проверка: х=4; lg(4–3)+ lg(4–2)=1– lg5; lg1+ lg2= lg2; lg2= lg2 – верно;
х=1; lg(1–3)+ lg(1–2)¹1– lg5, так как выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть всегда положительным.
Ответ: х=4;
б) .
Решение: ; ;
2 lg(4(х–3))= lg(3(7х+1)(х–6)); lg(4(х–3))2= lg(3(7х+1)(х–6)).
Потенцируем: 16х2–96х+144=21х2–123х–18; –5х2+27х+162=0;
5х2–27х–162=0; х1,2= ; х1=9; х2= .
Проверка: х=9; ; ;
– верно;
х= ; – ложно, так как подлогарифмическое выражение не может быть отрицательным.
Ответ: х=9;
в) .
Решение. Воспользуемся формулой ;
; ; ; x=27.
Проверка: ; ;
– верно.
Ответ: х=27;
г) .
Решение: .
Потенцируем: (3х–11)(х–27)=1000; 3х2–92х–703=0. х1,2= ; х1=37 и х2= .
Проверка: 1. ;
; = – верно.
2. , так как выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительное.
Ответ: х=37.
3 тип – уравнения вида P(logax)=0, где P(y) – многочлен 2 или 3 степени, или уравнения, сводящиеся к ним. Эти уравнения решаются с помощью подстановки: y= logax.
а) .
Решение: . Пусть ; y2–2y–3=0. Решаем уравнение и получаем y1=3 и y2=–1; y=3 Þ Þ х=27; y=–1 Þ Þ х= .
Проверка: х=27; ; ;
9–6–3=0 – верно;
х= ; ; ;
1+2–3=0 – верно.
Ответ: х=27; х= ;
б) .
Решение. Прежде всего надо иметь в виду, что если в уравнениях встречаются логарифмы с разными основаниями, то их надо привести к одному основанию с помощью формулы: .
В данном случае переходим к основанию 5. ;
. Обозначим ; (1+2y)y=1;
2y2+y–1=0; y1=–1, y2= ; или ; х= ; х= .
Проверка: 1) ; ; 1=1 – верно;
2) ; ;
; 1=1 – верно.
Ответ: х= ; х= .
5 тип – логарифмирование обеих частей уравнения.
Пример: .
Решение: ; (lgx+1)lgx=3–lgx; lg2x+lgx=3–lgx; y=lgx;
y2+2y–3=0. Решаем уравнение: y1=–3; y2=1; lgx=–3 или lgx=1,
x=10–3; x=10.
Проверка: 1) ; ; ;
106=106 – верно;
2) ; 102=100; 102=102 – верно.
Ответ: х=10–3; х=10.
|
Поиск по сайту:
|