|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Метод итерацийПусть задана функция f(х), требуется найти корни уравнения f(х) = 0. (2)
Метод простых итераций (последовательных приближений) является наиболее общим, и многие другие методы можно представить как некоторую вариацию метода простых итераций. Представим уравнение (2) в виде . (3)
Это можно сделать, например, прибавив х к обеим частям уравнения (3). Рассмотрим последовательность чисел xi, которая определяется следующим образом: x0 принадлежит [ а; b ]. Метод простых итераций имеет следующую наглядную геометрическую интерпретацию (рисунок 6). Решением уравнения (3) будет абсцисса точки пересечения прямой у = х с кривой у = >(х). При выполнении итераций значение функции (х) в точке xi необходимо отложить по оси абсцисс. Это можно сделать, если провести горизонталь до пересечения с прямой у = х и из точки их пересечения опустить перпендикуляр на ось абсцисс. На рис. 6 показаны разные ситуации: а) сходимость к корню односторонняя; б) сходимость с разных сторон. Рисунок 6 - Приближение к корню методом простой итерации
Сходимость процесса приближения к корню в значительной степени определяется видом зависимости (x). На рисунке 7 показан расходящийся процесс, при котором метод простой итерации не находит решения уравнения. Рисунок 7 - Расходящийся процесс в методе простой итерации
На рисунке 6 сходимость обеспечивается для медленно изменяющихся функций у(х), для которых выполняется условие На рисунке 7 расходящийся процесс наблюдается для более быстро меняющейся функции |\|/'(х)| > 1. Можно сделать вывод, что для обеспечения сходимости метода простой итерации необходимо выполнить условие На практике в качестве рассматриваемой окрестности используют интервал [ а; b ], а условие сходимости итерационного процесса имеет вид: Для сходящегося итерационного процесса характерно следующее: при решении задачи переменная последовательно стремится к некоторому искомому пределу. Так как итерационный процесс представляет собой последовательность повторяющихся вычислительных процедур, то он, естественно, описывается циклическими алгоритмами. Особенность итерационного цикла заключается в том, что неизвестен закон изменения рекуррентной величины, выбранной в качестве параметра цикла, и неизвестно число повторений цикла. При этом значение, полученное на n -й итерации, является исходным для следующей (п+ 1)-й итерации (рисунок 8). Процесс итераций продолжается до тех пор, пока для двух последовательных приближений хn+1 и хn не будет обеспечено выполнение неравенства где — точность вычислений. Рис. 8. Метод простой итерации
Пример 7. Методом итераций уточнить с точностью до 10-4 корень уравнения , заключенный на отрезке [0; 1]. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.) |