|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Пример решения задачи 4Найти общее решение системы. а) , б) . Решение. а) С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы системы. Для этого приведём матрицу к трапециевидному виду, число ненулевых строк в трапециевидной матрице и будет равно рангу матрицы. ~ ~ . Получили трапециевидную матрицу, в которой только две ненулевые строки. Значит, ранг r = 2. Число неизвестных в системе n =4. Так как r < n, то система имеет бесчисленное множество решений, зависящих от n – r =4 – 2 =2 параметров. Базисный минор – это отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу матрицы. Пусть – базисный минор. Тогда x 1 и х 2 – базисные неизвестные, т. к. коэффициенты перед ними образуют базисный минор, x 3 и х 4 – параметры. Обозначим для удобства x 3 = С 1, х 4 = С 2 и выразим базисные неизвестные через параметры. Так как r = 2, то достаточно взять два уравнения, соответствующие базисному минору:
Решим эту систему с помощью формул Крамера.
;
.
Тогда:
.
Общее решение исходной системы имеет вид: или
б) С помощью элементарных преобразований приведем расширенную матрицу к трапециевидной форме:
Умножим первую строку поочередно на (-2), (-3), (-1) и прибавим, соответственно, ко второй, третьей и четвертой строкам.
Сложим вторую и третью строки. Умножим вторую строчку на (-1) и прибавим к последней.
.
Получили трапециевидную матрицу, в которой только две ненулевые строки. Видим, что ранг основной матрицы равен 2 и ранг расширенной матрицы равен двум. Значит система совместна (то есть имеет хотя бы одно решение) и ранг r = 2. Число неизвестных в системе n =4. Так как r < n, то система имеет бесчисленное множество решений, зависящих от n – r =4 – 2 =2 параметров. Пусть – базисный минор (например, не является базисным). Тогда x 1 и – базисные неизвестные, т. к. коэффициенты перед ними образуют базисный минор, и х 4 – параметры. Обозначим для удобства = С 1, х 4 = С 2 и выразим базисные неизвестные через параметры. Так как r =2, то достаточно взять два уравнения, соответствующие базисному минору:
Решим эту систему с помощью формул Крамера.
;
.
Тогда:
.
Общее решение исходной системы имеет вид: или
Ответ: а) , б) .
Задача 5. Написать разложение вектора по векторам . 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.007 сек.) |