|
||||||||||||||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Пример решения задачи 3. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестнымиДана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными
Требуется: 1) найти её решения с помощью формул Крамера; 2) записать систему в матричном виде и решить её средствами матричного исчисления; 3) решить систему методом Гаусса.
Решение:1) Рассмотрим матрицу системы линейных уравнений . Главный определитель матрицы d = = 2 ×3 × 1 + 1 × (–2) × 1 + 1× 3 × ∙ (–1) – (–1) × 3 × 1 – 1× (–2) × 2 –1× 3 ×1 = 5 (вычислили по правилу треугольника). Так как d = 5 ¹ 0, то система имеет единственное решение, которое и можно найти по формулам Крамера. Для системы трех уравнений с тремя неизвестными формулы Крамера имеют вид: где d 1, d 2 и d 3 – получаются из определителя d заменой соответственно первого, второго и третьего столбца на столбец из свободных членов. Составим и вычислим эти определители, используя, например, правило треугольника. ,
,
.
По формулам Крамера получаем:
, , .
2) Данную систему можно представить в матричном виде: А×Х=В, где – матрица системы уравнений, – матрица-столбец из неизвестных, – матрица-столбец из свободных членов. Умножим слева обе части уравнения на А –1, где А –1 – обратная для матрицы А матрица. Тогда . Значит, решение матричного уравнения А×Х=В будем искать в виде Х=А –1 × В, где А –1 – матрица, обратная матрице А. Так как определитель матрицы А не равен нулю (d= 5), то обратная матрица существует и равна: ,
где – алгебраическое дополнение для элементов исходной матрицы. Найдем алгебраические дополнения для элементов матрицы А:
; ; ;
; ; ; ; ; .
Получаем . Тогда
. 3) Решим систему методом Гаусса, для это расширенную матрицу системы с помощью элементарных преобразований приведем ступенчатому виду: . Для удобства поменяем местами первую и последнюю строки. ~ - поменяем местами вторую и третью строки, получим: . Этой матрице соответствует система . Из последнего уравнения находим . Подставляя данное значение во второе уравнение, находим . Подставляя найденные значения в первое уравнение, находим Ответ: х = 3; y = 1; z = 2. Задача 4. Найти общее решение системы.
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.) |