Метод инструментальных переменных

Предполагаем, что в регрессии x = z α + ε переменные-факторы z являются случайными, и нарушена гипотеза g2 в обобщенной формулировке: ошибка ε зави- сит от факторов z, так что корреляция между z и ошибкой ε не равна нулю. Такую

274 Глава 8. Нарушение гипотез основной линейной модели

регрессию можно оценить, имея набор вспомогательных переменных y, называ- емых инструментальными переменными. Часто инструментальные переменные называют просто инструментами.

Для того, чтобы переменные y можно было использовать в качестве инстру- ментальных, нужно, чтобы они удовлетворяли следующим требованиям:

1) Инструменты y некоррелированы с ошибкой ε. (В противном случае метод даст несостоятельные оценки, как и МНК.) Если это условие не выполнено, то такие переменные называют негодными инструментами 4.

2) Инструменты y достаточно сильно коррелированы с факторами z. Если данное условие не выполнено, то это так называемые «слабые» инструменты. Если инструменты слабые, то оценки по методу будут неточными и при малом количестве наблюдений сильно смещенными.

Обычно z и y содержат общие переменные, т.е. часть факторов используется в качестве инструментов. Например, типична ситуация, когда z содержит константу; тогда в y тоже следует включить константу.

Пусть имеются N наблюдений, и X, Z и Y — соответствующие данные в матричном виде. Оценки по методу инструментальных переменных (сокращенно IV от англ. instrumental variables) вычисляются по следующей формуле:

Z t Y

.Y t Y

.−1

Y t X. (8.8)

В случае, если количество инструментальных переменных в точности равно

количеству факторов, (rank Y = n + 1) получаем собственно классический ме- тод инструментальных переменных. При этом матрица Y t Z квадратная и оценки

вычисляются как

aIV =. Y t Z. −1 Y t Y. Z t Y. −1 Z t Y. Y t Y. −1 Y t X.

Средняя часть формулы сокращается, поэтому

aIV =. Y t Z. −1 Y t X. (8.9)

Рассмотрим вывод классического метода инструментальных переменных, т.е. случай точной идентификации (ср. с (6.15) в главе 6):

Умножим уравнение регрессии x = z α + ε слева на инструменты y (с транс- понированием). Получим следующее уравнение:

y t x = y t z α + y tε.

4 В модели ошибок в переменных ошибка регрессии имеет вид ε− ε z α,гдеε— ошибкависходномуравнении,а ε z — ошибкаизмеренияфакторов z. Чтобы переменные y можнобылоиспользоватьв качестве инструментов,достаточно,чтобы y былинекоррелированыс εи ε z.

8.5. Метод инструментальных переменных 275

Если взять от обеих частей математическое ожидание, то получится

E (y t x) = E (y t z α),

где мы учли, что инструменты некоррелированы с ошибкой, E (y tε) = 0.

Заменяя теоретические моменты на выборочные, получим следующие нормаль- ные уравнения, задающие оценки a:

Myx = Myza,

где Myx = 1 Y t X и Myz = 1 Y t Z. Очевидно, что эти оценки совпадут с (8.9).

N N

Фактически, мы применяем здесь метод моментов.

Метод инструментальных переменных можно рассматривать как так называе- мый двухшаговый метод наименьших квадратов. (О нем речь еще пойдет ниже в пункте 10.3.)

1

t Y)−1 Y

t Z. Заметим, что если Zj входит в число инструментов, то по

= Zj, т.е. эта переменная останется без изменений.

Поэтому данную процедуру достаточно применять только к тем факторам, которые не являются инструментами (т.е. могут быть коррелированы с ошибкой). В целом

для всей матрицы факторов можем записать Zc = Y (Y t Y)−1 Y t Z.

2-й шаг. В исходной регрессии используются Zc вместо Z. Смысл состоит в том, чтобы использовать факторы «очищенные от ошибок».

Получаем следующие оценки:

a 2 M =. Zc t Zc. −1 Zc t x =

=  Z t Y. Y t Y. −1 Y t Y. Y t Y. −1 Y t Z −1 Z t Y. Y t Y. −1 Y t x =

Видим, что оценки совпадают.

Если записать оценки в виде aIV = (Zc t Z)−1 Zc t x, то видно, что обобщенный метод инструментальных переменных можно рассматривать как простой метод ин- струментальных переменных с матрицей инструментов Zc.

276 Глава 8. Нарушение гипотез основной линейной модели

Другое обоснование обобщенного метода инструментальных переменных со- стоит, как и выше для классического метода, в использовании уравнений E (y t x) =

= E (y t z α). Заменой теоретических моментов выборочными получим уравнения Myx = Myza, число которых больше числа неизвестных. Идея состоит в том, чтобы невязки Myx − Myza были как можно меньшими. Это достигается минимизацией следующей квадратичной формы от невязок:

MzyM −1 Myx.

Чтобы можно было использовать метод инструментальных переменных на практике, нужна оценка ковариационной матрицы, с помощью которой можно было бы вычислить стандартные ошибки коэффициентов и t -статистики. Такая оценка имеет вид

MaIV = s

2. Z

c t Z

c. −1.

Здесь s 2 — оценка дисперсии ошибок σ2, например s 2 = e t e/N или s 2 =

= e t e/ (N − 1). Остатки рассчитываются по обычной формуле e = x − ZaIV. (Здесь следует помнить, что остатки, получаемые на втором шаге тут не годят- ся, поскольку они равны x − ZcaIV. Если использовать их для расчета оценки дисперсии, то получим заниженную оценку дисперсии и ковариационной матрицы.

Отсюда следует, что из регрессии второго шага можно использовать только оценки коэффициентов. Стандартные ошибки и t -статистики требуется пересчитывать.)

Обсудим теперь более подробно проблему идентификации5.

Чтобы можно было вычислить оценки (8.8), нужно, чтобы выполнялись следу- ющие условия:

1) Матрица инструментов должна иметь полный ранг по столбцам, иначе

(Y t Y)−1не существует.

2) Z t Y (Y t Y)−1 Y t Z должна быть невырожденной.

В частности, матрица Z t Y (Y t Y)−1 Y t Z необратима, когда rank Y < rank Z. Предположим, что матрица факторов Z имеет полный ранг, т.е. rank Z = n +1.

5 См. также обсуждение идентификации в контексте систем уравнений ниже в пункте 10.2.

8.5. Метод инструментальных переменных 277

Т.е. если rank Y < n + 1, то уравнение неидентифицируемо, т.е. невозмож- но вычислить оценки (8.8). Таким образом, количество инструментов (включая константу) должно быть не меньше n +1 (количество регрессоров, включая кон- станту). Если rank Y > n + 1, то говорят, что уравнение сверхидентицировано. Если количество инструментов равно n + 1, то это точная идентификация.

Если возможен случай сверхидентификации, то это обобщенный метод инстру- ментальных переменных. При точной идентификации (rank Y = n + 1) получаем собственно классический метод инструментальных переменных.

Таким образом, необходимое условие идентификации имеет следующий вид:

rank Y “ rank Z (= n + 1).

Это так называемое порядковое условие идентификации, условие на размерность матриц.

Словесная формулировка порядкового условия:

Количество инструментов Y должно быть не меньше количества ре- грессоров Z (учитывая константу).

Заметим, что можно сначала «вычеркнуть» общие переменные в Z и Y и смотреть только на количество оставшихся. Количество оставшихся инструментов должно быть не меньше количества оставшихся регрессоров.

Необходимое и достаточное условие идентификации формулируется следую- щим образом:

Матрица Zc имеет полный ранг по столбцам: rank Zc = n + 1.

Это так называемое ранговое условие идентификации.

Встречаются случаи, когда ранговое условие идентификации соблюдается, но матрица Zc близка к вырожденности, т.е. в Zc наблюдается мультиколли- неарность. Например, если инструмент Zj является слабым (Zj и Y почти ор- тогональны), то Zc близка к вырожденности. Один из способов проверки того, является ли инструмент слабым, состоит в анализе коэффициентов детерминации и F -статистик в регрессиях на первом шаге.

278 Глава 8. Нарушение гипотез основной линейной модели

Поиск по сайту: