АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Упражнение 1. По наблюдениям из таблицы 6.1:

Читайте также:
  1. Воображение и внимание. Упражнение 2.
  2. Вставьте определенный, неопределенный или нулевой артикль. Выполните это упражнение письменно. В случае сомнений обратитесь к правилам.
  3. Второе упражнение
  4. Выберите правильное определение к термину «физическое упражнение»?
  5. Глава вторая. СОСРЕДОТОЧЕНИЕ, УПРАЖНЕНИЕ В НЕМ
  6. Первое упражнение
  7. Первое упражнение является базовым для усвоения последующих дыхательных упражнений, поэтому отрабатывать его следует тщательно.
  8. Повторите по орфографическому справочнику правила правописания и склонения числительных, правила согласования числительных с существительными. Выполните упражнение.
  9. Практическое упражнение «Оценка уровня этичности организации»
  10. Третье упражнение
  11. УПРАЖНЕНИЕ
  12. Упражнение

 

По наблюдениям из таблицы 6.1:

 


Таблица 6.1


1.1. Вычислите

1 1


X 1 X −1
X 2 X 3
0.58 1.00 1.00
1.10 2.00 4.00
1.20 3.00 9.00
1.30 4.00 16.00
1.95 5.00 25.00
2.55 6.00 36.00
2.60 7.00 49.00
2.90 8.00 64.00
3.45 9.00 81.00
3.50 10.00 100.00
3.60 11.00 121.00
4.10 12.00 144.00
4.35 13.00 169.00
4.40 14.00 196.00
4.50 15.00 225.00

 

M −1 =


N X ˆ t 1 X ˆ−1, m −1 =


X ˆ t 1 X ˆ1

N


и для регрессии X 1= X −1 a −1 +1 Nb 1 + e 1найдите оценки a −1 и b 1.


1.2. Рассчитайте вектор Xc = X a


+1 b


и век-


тор e 1= X 1− Xc


−1 −1 N 1

t


 

cov (X −1, e) = N


1. Убедитесь, что 1 Ne 1= 0 и

X ˆ t
−1 e 1 = 0.


1.3. Вычислите объясненную дисперсию различными способами:

 
s 2 ˆ t c c


q 1 =

s 2


X 1 X ˆ1;

N

t


−1
q 1 = a


m −1;


s 2 t −1


q 1 = m −1 M


1 m −1.


 

1.4. Вычислите остаточную дисперсию различными способами:

 
s 2 t

e 1 = N e 1 e 1;


s 2 2 2


1 ˆ ˆ 2


 
e 1 = s 1 − sq 1= N X t X 1− sq 1.

1.5. Вычислите коэффициент детерминации различны- ми способами:

s
2

R 2
;
=
q 1

s
1 2

R 2
 
 
. cov (x 1, xc).

1 = s s.

1 q 1

 

1.6. Оцените параметры и коэффициент детерминации для ортогональной ре- грессии x α = β + ε.


 

 

6.5. Упражнения и задачи 217

 

– сравните эти оценки с оценками линии регрессии, полученными в 1.1;

– рассчитайте расчетные значения переменных.

1.7. Оцените матрицу оценок и значений главных компонент (AQ и Q), а также расчетное значение переменных.

1.8. Пусть единицы измерения x 1 увеличились в 100 раз. Как в этом случае долж- на выглядеть матрица преобразования D? Как изменятся оценки уравнения прямой и ортогональной регрессий?

 

 

Задачи

 


1. Может ли матрица

 

 9. 2 −3. 8 −2 

а)  


 

 

 5. 2 −3. 8 −2 

 


 3. 8 2 0. 6 

 

 

−2 0. 5 2


б) 


3. 8 2 0. 6 

−2 0. 6 2


являться ковариационной матрицей переменных, для которых строится урав- нение регрессии? Ответ обосновать.

 

1 1

 


2. Для x = (x 1, x 2) = 2 2


найдите оценки ковариаций переменных x,


 

 

 

 

6 3

оценки параметров уравнения прямой (x 1 = a 12 x 2+ 1 Nb 1 + e 1) и обратной


a
регрессии (x 2= a 21 x 1+ 1 Nb 2 + e 2). Покажите, что a 12ƒ=


. Рассчитайте


вектор-столбец остатков по прямой и обратной регрессии. Убедитесь, что

сумма остатков равна нулю, вектора остатков и x 2 ортогональны при пря- мой регрессии, вектора остатков и x 1 ортогональны при обратной регрес- сии. Найдите объясненную и остаточную дисперсии различными способами, а также коэффициент детерминации.

3. Предположим, что мы, используя модель регрессии x 1 = x −1 a −1 + 1 Nb 1 +

 
+ e 1, из условия минимизации e t e 1получили следующую систему линейных


b 1


+ 2 a 12


+ a 13


= 3,


уравнений:


2 b 1+ 5 a 12+ a 13= 9, b 1 + a 12+ 6 a 13= −8.


 

 

218 Глава 6. Алгебра линейной регрессии

 

Запишите условия задачи в матрично-векторной форме, решите ее, используя метод, указанный в приложении для обратных матриц, и найдите оценки параметров регрессии.

4. Оцените регрессию x 1 = a 12 x 2 + a 13 x 3+ 1 Nb 1 + e 1и рассчитайте:

– оценку остаточной дисперсии,

– объясненную дисперсию,

– коэффициент детерминации, если

a) матрица наблюдений имеет вид:

 

5 1 3

 

 

 1 2 1 

 

 

X = (X 1, X 2, X 3
−2
 
 
,
)=  

 

 

 

 
 
 
 

 

 

 

−4 5 4

б) X t X 1 = 96, X t X 2 = 55, X t X 3 = 129, X t X 2 = 72,

1 2 3 1

1 X 3= 107, X 2 X 3= 81, X 11 N = 20, X 21 N = 15, X 31 N = 25,


X t t

N = 5.


t t t


5. Дисперсии двух переменных совпадают, корреляция отсутствует. Изобра- зить на графике — в пространстве переменных — линии прямой, обратной и ортогональной регрессий. Ответ обосновать.

6. Дисперсии выпуска продукции и количества занятых по предприятиям равны, соответственно, 10 и 20, их ковариация равна 12. Чему равен коэффициент детерминации в регрессии выпуска по занятым, коэффициент зависимости выпуска от занятых по прямой, обратной и ортогональной регрессии?

7. Дисперсии временных рядов индекса денежной массы и сводного индекса цен равны, соответственно, 150 и 200, их ковариация равна 100. Чему равен параметр влияния денежной массы на цены по модели прямой регрессии и доля объясненной дисперсии в дисперсии индекса цен?

 

14 5


8. По заданной матрице ковариации двух переменных  3


3найти оста-


53 23

точную дисперсию уравнения регрессии первой переменной по второй.


 

 

6.5. Упражнения и задачи 219


9.

 
В регрессии x 1 = a 12 x 2 + 1 Nb 1 + e 1, где x t


= (5, 3, 7, 1) коэффициент


детерминации оказался равным 50%. Найдите сумму квадратов остатков.

10. Оцените модель x 1 = a 12 x 2 + 1 Nb 1 + e 1, используя следующие данные:

 

3 3

 

 

 

1 1

 

 

(x 1, x 2) = 8 5.

 

 

 

3 2

 

 

 

5 5

 


Вычислите остатки (ei) и покажите, что


ei = 0,

i =1


x 2 iei = 0.

i =1


11. Две парные регрессии построены на одних и тех же данных: x 1 = a 12 x 2+

 
+ 1 Nb 1 + ex 2 = a 21 x 1+ 1 Nb 2 + e 2. R 2 — коэффициент детерминации в первой регрессии, R 2 — во второй. Запишите соотношение между R 2 и R 2.

2 1 2

Ответ обосновать.

 

12. Возможна ли ситуация, когда угловые коэффициенты в уравнениях прямой и обратной регрессии построены на одних и тех же данных, соответственно равны 0. 5 и 3. 0. Почему?

13. Что геометрически означает R 2 = 0 и R 2 = 1?

14. Регрессия x 1 = α12 x 2 + β1+ ε1оценивается по двум наблюдениям. Чему равен коэффициент детерминации?

 

1 1

 

15. Для x = (x 1, x 2) = 2 2оцените параметры ортогональной регрессии

 

 

 

 

6 3

и коэффициент детерминации. Покажите, что линия ортогональной регрес- сии находится между линиями прямой и обратной регрессии.

16. Какая из двух оценок коэффициента зависимости выпуска продукции от ко- личества занятых в производстве больше: по прямой или по ортогональной регрессии? Ответ обосновать.

17. Какая из двух оценок коэффициента зависимости спроса от цены больше: по прямой или по ортогональной регрессии? Ответ обосновать.


 

 

220 Глава 6. Алгебра линейной регрессии

 

18. Какой вид имеет уравнение ортогональной регрессии для переменных xx 2 с одинаковыми значениями дисперсий и средних, а также имеющих положительную корреляцию равную ρ?

 

19. Покажите, что решение задачи

 




m 11




m 12


   

1 0 1

   




m 12 m 22


 − λ 

0 0


 


a 12


 = 0, λ → min!


 

эквивалентно решению задачи прямой регрессии x 1 = a 12 x 2+ 1 Nb 1 + e 1.

20. Пусть x 1 и x 2 — центрированные переменные. Уравнение ортогональной регрессии, поcтроенные по множеству наблюдений над величинами x 1 и x 2, есть x 1 − x 2 = 0. Запишите вектор первой главной компоненты.

21. Оценка парной регрессии ведется в стандартизированной шкале. Как связан коэффициент детерминации и коэффициент регрессии (угловой)?

22. Была оценена регрессия x 1 = α12 x 2 + β1+ ε1, где x 1 измеряется в рублях, а x 2 — в килограммах. Затем ту же регрессию оценили, изменив единицы измерения на тысячи рублей и тонны. Как при этом поменялись следующие величины: а) оценка коэффициента α12; б) коэффициент детерминации? Как в этом случае должна выглядеть матрица преобразования D?

23. Пусть в ортогональной регрессии, построенной для переменных x 1 и x 2, из-за деноминации рубля единица измерения x 2 изменилась в 1000 раз. Как в этом случае должна выглядеть матрица преобразования D? Изменятся ли оценки? Ответ обосновать.

24. Пусть в наблюдениях задачи 2 единица измерения x 1 увеличилась в 10 раз. Как в этом случае должна выглядеть матрица преобразования D? Как изме- нятся оценки уравнения прямой и обратной регрессии?

 


 

25. В регрессии в метрике Ω1 матрица Ω равна


 

9 0

 . Как преобразовать

 

0 4


исходные переменные, чтобы свести эту регрессию к ортогональной?

 

 

Рекомендуемая литература

 

1. Айвазян С.А. Основы эконометрики. Т.2. — М.: «Юнити», 2001. (Гл. 2).


 

 

6.5. Упражнения и задачи 221

 

2. Болч Б., Хуань К.Дж. Многомерные статистические методы для экономи- ки. — М.: «Статистика», 1979. (Гл. 7).

3. Джонстон Дж. Эконометрические методы. — М.: «Статистика», 1980. (Гл. 2, 11).

4. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ: В 2-х кн. Кн.1. — М.: «Финансы и статистика», 1986. (Гл. 1, 2).

5. Езекиэл М., Фокс К. Методы анализа корреляций и регрессий. — М.: «Ста- тистика», 1966. (Гл. 5, 7).

6. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. Вып. 2. — М.: «Стати- стика», 1977. (Гл. 10, 11).

7. Лизер С. Эконометрические методы и задачи. — М.: «Статистика», 1971. (Гл. 2).

8. (*) Маленво Э. Статистические методы эконометрии. Вып. 1. — М.: «Ста- тистика», 1975. (Гл. 1).

9. Judge G.G., Hill R.C., Griffiths W.E., Luthepohl H., Lee T. Introduction to the Theory and Practice of Econometric. John Wiley & Sons, Inc., 1993. (Ch. 5).

10. William E., Griffiths R., Carter H., George G. Judge Learning and Practicing econometrics, N 9 John Wiley & Sons, Inc., 1993. (Ch. 3).


 

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.027 сек.)