АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Описание сопряженных пространств

Читайте также:
  1. I.3 СК В ПРОСТРАНСТВЕ
  2. IDL-описаниеи библиотека типа
  3. II. ОПИСАНИЕ МАССОВОЙ ДУШИ У ЛЕБОНА
  4. V2: ДЕ 11 - Векторные пространства. Линейные операции над векторами
  5. V2: ДЕ 14 – Векторные пространства. Коллинеарность векторов.
  6. X. ПРОИСХОЖДЕНИЕ КОСМИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
  7. XI. Описание заболевания
  8. Адыгея в Политико-экономическом пространстве России. Особенности проведения экономической реформы в республике.
  9. Аксиомы линейного пространства
  10. Анализ изменения пространственного спектра фазовой решетки при смещении ее вдоль оси 0х.
  11. Анализ основных конкурентов (схема и описание)
  12. Аналитическая геометрия в пространстве

Пространство, сопряженное к пространству Лебега

Т е о р е м а 1. Пусть , , пространство с конечной мерой. Пространство изометрически изоморфно прост-ранству . Соответствующий изоморфизм задается формулой

. (3.1)

 

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть . Тогда формула (3.1) определяет линейный функционал на и в силу неравенства Гельдера имеем

.

 

Отсюда видно, что функционал ограничен и . Таким образом, уста-новлено включение .

Остается доказать, что любой функционал можно представить в виде (3.1) с некоторой функцией и .

Пусть . Для имеем и поэтому определено отобра-жение (или ) по формуле . Если причем пере-сечение и пусто при , то и ряд сходится в пространстве . Поэтому линейность и непрерывность влечет

.

 

Тем самым доказана счетная аддитивность . Последнее означает, что

заряд (комплекснозначный). Более того, является абсолютно непрерыв-ным относительно меры . Действительно, если , то почти всюду равна нулю, т.е. является нулем в и . Поэтому в силу теоремы Радона – Никодима существует такая функция , что

 

.

 

Покажем теперь, что и что выполняется (3.1) для каждой . В случае когда индикатор, представление (3.1) проверяется непосред-ственно

 

.

 

В силу линейности функционала и интеграла Лебега представление (3.1) распространяется и на простые функции. Для ограниченной измеримой функции можно построить последовательность простых измеримых функ-ций , сходящихся равномерно к . В силу теоремы Лебега и непрерыв-ности функционала предельный переход в равенстве

 

.

дает представление (3.1) и в этом случае.

Рассмотрим для каждого натурального функции

, , где

 

Эти функции ограничены, измеримы и

 

,

.

 

Записывая теперь неравенство с учетом полученных соотноше-ний, имеем

.

 

Поскольку при всех , то применение теоремы Фату дает

 

.

 

Таким образом, совпадает на множестве ограниченных функций с функцио-налом, задаваемым формулой (3.1). Поскольку множество ограниченных функций плотно в , то это совпадение распространяется на все прост-ранство и теорема доказана.

 

Пространство, сопряженное к гильбертову пространству.

Т е о р е м а 2. Пусть гильбертово пространство. Тогда существует единственный элемент такой, что

. (3.2)

При этом . Обратно, формула (3.2) определяет функционал с нормой .

Доказательство теоремы приведено в [1, стр. 202 - 203].

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)