АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Векторнозначные аналитические функции

Читайте также:
  1. I Психологические принципы, задачи и функции социальной работы
  2. I. Деньги и их функции.
  3. I. Функции эндоплазматической сети.
  4. II. Основные задачи и функции
  5. II. Основные задачи и функции
  6. II. Функции плазмолеммы
  7. III. Предмет, метод и функции философии.
  8. IV. Конструкция бент-функции
  9. Ms Excel: мастер функций. Логические функции.
  10. SALVATOR создает Знания-Образы, когнитивные имитационные модели сознания, расширяющие человеческие возможности и защитные функции.
  11. V2: ДЕ 29 - Введение в анализ. Предел функции на бесконечности
  12. V2: ДЕ 32 - Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная

При решении вопроса о непустоте спектра ограниченного оператора приходится рассматривать банахово пространство над полем комплексных чисел. Это не случайно, поскольку именно в поле комплексных чисел разрешимы алгебраические уравнения. Кроме того, для решения этого вопроса недостаточно разработанных ранее геометрических методов и требуется развитие аналитических средств. В этом параграфе мы введем понятие аналитической функции, принимающей значения в банаховом пространстве над полем комплексных чисел. В действительности, нам придется рассматривать операторнозначные функции. Однако, как мы виде-ли, сами линейные ограниченные операторы образуют банахово пространство.

Имеется два подхода к определению аналитической векторнозначной функции.

О п р е д е л е н и е. Функция , определенная в области комп-лексной плоскости и принимающая значения в банаховом пространстве над полем , называется сильно аналитической, если в каждой точке существует предел в смысле нормы пространства

 

.

 

Начав с такого определения, можно развить теорию аналитических векторнозначных функций, вполне аналогичную классической теории. В частности, устанавливается возможность представления в окрестности точки аналитической функции в виде степенного ряда с коэффициентами из и равномерно сходящегося в норме этого пространства. Другой подход определения аналитических векторнозначных функций основывается на теории двойственности и значительно быстрее позволяет применить методы комплексного анализа в теории операторов.

О п р е д е л е н и е. Функция называется слабо аналитической в области , если для комплекснозначная функция является аналитической в .

З а м е ч а н и е. В силу непрерывности скалярного произведения всякая сильно аналитическая функция является и слабо аналитической.

Т е о р е м а 1. Пусть функция, определенная в области и принимающая значения в банаховом пространстве над полем . Тогда из слабой аналитичности следует сильная аналитичность.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть фиксированная точка области . В силу полноты пространства для доказательства дифференцируемости функции в точке достаточно проверить выполнимость критерия Коши функции

 

при . Для произвольного функция является аналитичес-кой в . Поэтому в круге , содержащемся в вместе со своим замыканием, можно представить эту функцию интегральной формулой Коши

 

,

 

где положительно ориентированная граница круга . Для , удовлетворяющих неравенствам , можно провести следую-щие оценки:

 

и

.

 

Рассматривая , , как семейство операторов, мы можем применить теорему Банаха – Штейнгауса, согласно которой

 

.

 

Но тогда

 

,

 

, , . В силу формул двойственности получаем

 

.

 

Отсюда следует выполнимость критерия Коши.

œ

Т е о р е м а 2. Пусть последовательность в банаховом простран-стве над полем , удовлетворяющая условию . Тогда ряд сходится по норме для , а его сумма представляет собой аналитическую значную функцию в круге .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Сходимость ряда доказывается так же, как и в скалярном случае, с использованием признака Вейерштрасса. Покажем, что является аналитической функцией. Пусть . Тогда

 

.

Однако, полученный числовой ряд сходится в круге , поскольку . Таким образом, слабо аналитична в .

œ

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)