АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

П 3.9 Итерационные методы вариационного типа решения систем линейных алгебраических уравнений

Читайте также:
  1. A) к любой экономической системе
  2. A) прогрессивная система налогообложения.
  3. C) Систематическими
  4. CASE-технология создания информационных систем
  5. ERP и CRM система OpenERP
  6. HMI/SCADA – создание графического интерфейса в SCADА-системе Trace Mode 6 (часть 1).
  7. I Понятие об информационных системах
  8. I СИСТЕМА, ИСТОЧНИКИ, ИСТОРИЧЕСКАЯ ТРАДИЦИЯ РИМСКОГО ПРАВА
  9. I. Основні риси політичної системи України
  10. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ (ТЕРМИНЫ) ЭКОЛОГИИ. ЕЕ СИСТЕМНОСТЬ
  11. I. Составление дифференциальных уравнений и определение передаточных функций
  12. I. Суспільство як соціальна система.

 

Имеем систему линейных алгебраических уравнений

AX = f. (1)

 

Канонической формой итерационного метода решения системы (1) называется его запись в виде [19]

 

(2)

 

где – вещественная невырожденная матрица порядка , задающая тот или иной итерационный метод, - итерационный параметр.

Если Bк+1=E, где Е – единичная матрица, то итерационный метод (2) называется явным, в противном случае неявным.

Если и не зависят от номера итераций, то итерационный метод (2) называется стационарным, и нестационарным - в противном случае.

Рассмотрим метод скорейшего спуска.

Пусть имеем систему (1) с симметричной положительно определенной матрицей А.

Обозначим через

 

(3)

 

невязку, которая получается при подстановке приближенного значения X(k), полученного на k -й итерации, в уравнение (1).

Рассмотрим явный нестационарный итерационный метод [20]

 

. (4)

 

Перепишем метод (4) с учетом равенства (3), имеем

 

. (5)

 

Выберем итерационный параметр из условия минимума при заданном векторе , где , - точное решение. Поскольку погрешность удовлетворяет уравнению , получим [19]

.

 

Величина будет минимальной, если положить

.

 

Величина неизвестна, так как неизвестно точное решение . Однако надо учесть, что погрешность и невязка связаны равенством , следовательно, вычисление можно проводить по формуле

 

. (6)

 

Таким образом, в методе скорейшего спуска переход от k -ой итерации к (k+1)- ой осуществляется следующим образом: по найденному значению вычисляется вектор невязки (3) и по формуле (6) находится параметр , затем по формуле (5) вычисляется вектор приближенного решения . Вектор начального приближения выбирается произвольно.

Для погрешности метода скорейшего спуска справедлива оценка [19].

где .

Пример 1. Методом скорейшего спуска решить систему линейных алгебраических уравнений AX = f, где

 

, .

 

Решение:

Выберем начальное приближение .

Рассчитаем вектор невязки по формуле .

Получим .

 

Вычислим ,

Приближение вычислим по формуле: , имеем .

Вычислим вектор невязки по формуле , получим .

Продолжаем итерации. Имеем ,

 

Приближение находим по формуле: , получим .

Найдем вектор невязки по формуле , имеем .

Вычислим ,

Приближение вычислим по формуле: , получим .

Данный итерационный процесс можно продолжать до получения решения с требуемой точностью.

 

Пример 2. В рамках метода скорейшего спуска реализовать нахождение скалярного произведения векторов.

Данный метод описан в классе «Vector». Реализация на языке программирования С++ может иметь следующий вид:

 

double Vector:: mul(Vector r) {

double result = 0;

for (int i=0; i< this.getColCount; i++)

{

result += this.elements[i] * r.elements[i];

}

return result;

}

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.007 сек.)