АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

П 4.4 Метод Якоби для нахождения собственных значений и собственных векторов

Читайте также:
  1. I этап Подготовка к развитию грудобрюшного типа дыхания по традиционной методике
  2. I. ГИМНАСТИКА, ЕЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ
  3. I. Методические основы
  4. I. Методические основы оценки эффективности инвестиционных проектов
  5. I. Предмет и метод теоретической экономики
  6. I. Случайные величины с дискретным законом распределения (т.е. у случайных величин конечное или счетное число значений)
  7. I. Что изучает экономика. Предмет и метод экономики.
  8. I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА
  9. II. Метод упреждающего вписывания
  10. II. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
  11. II. Методы непрямого остеосинтеза.
  12. II. Проблема источника и метода познания.

 

Итерационный метод вращения (метод Якоби) решает полную проблему нахождения собственных значений и собственных векторов вещественной симметрической матрицы без использования характеристического уравнения.

Вычисление всех собственных значений и собственных векторов можно свести к отысканию такой ортогональной матрицы Т, для которой произведение представляет диагональную матрицу, причем столбцы матрицы Т будут являться соответствующими собственными векторами матрицы А. Матрица Т находится как предел бесконечного произведения элементарных матриц вращений, каждая из которых имеет вид [20]:

 

Если необходимо обратить в нуль элемент aik матрицы А, то cosφ и sinφ нужно выбрать по формулам

 

(1)

где

 

Тогда получим матрицу с измененными i -м и k -м столбцами и строками:

 

(2)

 

Отметим, что выполняется соотношение
= , т.е. сумма квадратов диагональных элементов увеличивается. Элементы, которые однажды обратились в нуль, при последующих шагах снова могут стать ненулевыми. Если на каждом шаге данного преобразования подобия брать максимальный по модулю наддиагональный элемент преобразуемой матрицы, то в пределе получится диагональная матрица. Исследование сходимости является сложным вопросом и в данном пункте не рассматривается.

Заметим, что по мере того, как Аm при m →∞ превращается в диагональную матрицу, на диагонали которой стоят собственные значения в некоторой последовательности, зависящей от выбранных вначале пар i, k, в столбцах матрицы появляются стоящие
в соответствующей последовательности нормированные собственные векторы.

В качестве критерия окончания итерационного процесса используется условие малости суммы квадратов внедиагональных элементов [10].

Пример 1. Используя метод Якоби, найти собственные значения и векторы матрицы с точностью

.

 

Решение:

Выберем максимальный по модулю наддиагональный элемент матрицы А.

Пусть (i, k) = (1, 4), . По формулам (1) вычислим c и s:

c = 0,7245; s = 0,6892. Тогда матрица вращения будет иметь вид:

 

.

 

Матрица , вычисленная, согласно , будет иметь вид:

.

 

Первая итерация завершена.

Выберем максимальный по модулю наддиагональный элемент матрицы . Пусть (i, k) = (2, 3), . Проверим условие окончания итерационного процесса

,

следовательно, процесс необходимо продолжить. По формулам (1) вычислим c и s: c = 0,7733; s = 0,643. Тогда матрица вращения будет иметь вид:

.

 

Матрица , вычисленная, согласно , будет иметь вид:

.

 

Вторая итерация завершена.

Выберем максимальный по модулю наддиагональный элемент матрицы . Пусть (i, k) = (1, 2), . Условие окончания итерационного процесса не выполняется, переходим к следующей итерации. По формулам (1) вычислим c и s: c = 0,7989; s = 0,6015. Тогда матрица вращения будет иметь вид:

.

Матрица , вычисленная, согласно , будет иметь вид:

.

 

Продолжаем итерационный процесс до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность наддиагональных элементов.

На двенадцатой итерации имеем:

 

.

 

Так как сумма квадратов наддиагональных элементов меньше , то процесс завершается.

На главной диагонали матрицы находятся собственные значения матрицы А:

Столбцы матрицы являются собственными векторами матрицы А

.

 

, .

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)