Биномиальное распределение

Во многом близко к нормальному. Отличие состоит лишь

в том, что оно характеризует поведение дискретных признаков, вы-

раженных целыми числами. Таким образом, при биномиальном

распределении проявляется та же самая закономерность, что и при

нормальном распределении: чем ближе значения дискретного при-

знака к центру распределения, тем выше вероятность их появления.

Математически распределение называется биномиальным,

если вероятности появления отдельных значений признака выра-

жаются величинами, соответствующими коэффициентам разло-

жения бинома Ньютона:

(р + q)к,

где р – вероятность появления признака,

q – вероятность непоявления признака,

к – число классов, отличающихся по появлению признака.

Коэффициенты при отдельных членах разложения бинома

Ньютона при возведении его в разные степени будут

следующими:

(р + q)1 = р + q

(р + q)2 = р2 + 2рq + q2

(р + q)3 = р3 + 3р2q + 3pq2 + q3

(р + q)4 = р4 + 4р3q + 6p2q2 + 4pq3 + q4

Эти коэффициенты можно легко получить с помощью

треугольника Паскаля, в котором цифры каждого последующего

ряда получаются путем сложения двух цифр ряда, располо-

женного над ним (рис. 3.7).

В основе биномиального распределения лежит альтерна-

тивное проявление качественного признака: он может быть

у единичного объекта или отсутствовать, проявиться или нет.

В гнездах древесной ласточки Tachycineta bicolor можно обнару-

жить 1 птенца или не одного, 2-х птенцов или не двух птенцов,

3-х птенцов или другое их количество и т. д.

Рис. 3.7. Арифметический треугольник Паскаля

Отдельный корнеплод может быть больным или здоровым

(признак качественный), тогда проба из нескольких корнеплодов

будет содержать некоторое число здоровых корнеплодов (признак

количественный), а множество равнообъемных проб образует

уже выборку чисел, для которой можно построить гистограмму

распределения. Вероятность отдельного события (корнеплод

больной) составляет p, а вероятность альтернативного события

(корнеплод здоровый) равна q = 1 − p. При равенстве вероят-

ностей __________событий p = q = 0.5 большинство проб (вариант) будет

иметь около половины возможных событий (поровну больных и

здоровых корнеплодов); распределение примет симметричную

форму (рис. 3.8). В случае неравенства вероятностей наблюдается

та или иная степень асимметрии распределения (Ивантер,

Коросов, 2003).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Рис. 3.8. График биномиального распределения (при p = q = 0.5)

Примерами описания признаков с помощью биномиального

распределения могут служить поражения глистными инвазиями

рыб, пелорическая форма цветка в популяциях львиного зева

(Плохинский, 1970); число поврежденных участков на листьях,

число волосков на единице площади шкурки, количество лучей

в плавниках рыб, число хвостовых щитков у рептилий, плодо-

витость (размер выводка) самок (Ивантер, Коросов, 2003); число

листочков околоцветника у Anemone nemorosa L. (Шмидт, 1984);

типичная область применения в экологии – описание одно-

родности сообщества по встречаемости видов (Пузаченко, 2004).

Поиск по сайту: