АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА. Даны следующие данные: Значения Y(t) при t

Читайте также:
  1. VI. ЭТАП Определения лица (группы лиц) принимающих решение.
  2. А если и может, то Конституционный суд отменит это решение в пять минут.
  3. Альтернативное разрешение споров
  4. В заданиях 10-14 запишите ответ в отведенном для этого поле. Для заданий 11,12,13 запишите полное решение.
  5. В заданиях 10-14 запишите ответ в отведенном для этого поле. Для заданий 11,12,13 запишите полное решение.
  6. Влияние на решение о покупке
  7. Возможное решение
  8. Возможное решение
  9. Возможное решение проблемы ограниченности ресурсов и благ
  10. Геометрическое решение биматричных игр 2x2.
  11. Глава 7. Гениальное решение
  12. Глава II. Решение системы линейных уравнений с использованием компьютерных приложений

 

Даны следующие данные:

Значения Y(t) при t
                 
                 

 

Для отражения тенденции изменения исследуемого показателя воспользуемся простейшей моделью вида:

Yp(t) = a0 + a1 t (t = 1,2,...,N).

Параметры кривой роста оцениваются по методу наименьших квадратов (МНК).

Для линейной модели:

a1 = ∑ [ (t - tср) (Y(t) - Yср) ]: ∑ (t - tср)2,

a0 = Yср - a1 tср,

tср - среднее значение фактора времени;

Yср - среднее значение исследуемого показателя.

Примечание:

В Excel математическое ожидание (среднее значение) определяется с помощью функции СРЗНАЧ (значения чисел) в категории Статистические.

Среднее квадратическое отклонение, обозначаемое σ(x), определяет разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Заметим, что в Excel эта величина называется стандартное отклонение - СТАНДОТКЛОН (значения чисел) по зависимости.

По данным о курсе акций за девять недель построим линейную модель.

Таблица 6.1 – Оценка параметров уравнения прямой

t Факт Y(t) t - tср (t - tср)2 Yt - Ycp (t - tср) * (Yt - Ycp) Расчет Yp(t) Отклонение E(t)
1,00   -4,00 16,00 -31,00 124,00 27,47 -2,47
2,00   -3,00 9,00 -22,00 66,00 34,60 -0,60
3,00   -2,00 4,00 -14,00 28,00 41,73 0,27
4,00   -1,00 1,00 -5,00 5,00 48,87 2,13
5,00   0,00 0,00 -1,00 0,00 56,00 -1,00
6,00   1,00 1,00 11,00 11,00 63,13 3,87
7,00   2,00 4,00 17,00 34,00 70,27 2,73
8,00   3,00 9,00 20,00 60,00 77,40 -1,40
9,00   4,00 16,00 25,00 100,00 84,53 -3,53
45,00 504,00 0,00 60,00 0,00 428,00 504,00 0,00

Ycp = 56; tcp = 5

a 1 = 7,13

a 0 = 20,33

Таким образом линейная модель имеет вид:

Yp(t) = 20,33 + 7,13 t (t = 1,2,...,9).

Отклонения расчетных значений от фактических наблюдений вычисляются как

E(t) = Y(t) – Yp(t), t = 1,2,...,9.

Необходимо оценить качество модели, исследовав ее адекватность и точность.

Качество моделиопределяется ее адекватностью исследуемому процессу, которая характеризуется выполнением определенных статистических свойств, и точностью, т.е. степенью близости к фактическим данным. Модель считается хорошей со статистической точки зрения, если она адекватна и достаточно точна.

Модель является адекватной, если ряд остатков обладает свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения и равенства нулю средней ошибки.

Результаты исследования адекватности отражены в таблице 6.2.


 

Таблица 6.2 – Оценка адекватности модели

t Отклонение E(t) Точки поворота E(t)2 E(t)-E(t+1) [ E(t)-E(t+1) ]^2 E(t)* E(t+1) | E(t)|:Y(t)* 100
1,00 -2,47 - 6,08 -1,87 3,48 1,48 9,87
2,00 -0,60   0,36 -0,87 0,75 -0,16 1,76
3,00 0,27   0,07 -1,87 3,48 0,57 0,63
4,00 2,13   4,55 3,13 9,82 -2,13 4,18
5,00 -1,00   1,00 -4,87 23,68 -3,87 1,82
6,00 3,87   14,95 1,13 1,28 10,57 5,77
7,00 2,73   7,47 4,13 17,08 -3,83 3,74
8,00 -1,40   1,96 2,13 4,55 4,95 1,84
9,00 -3,53 - 12,48 - - - 4,36
45,00 0,00 3,00 48,93 - 64,14 7,58 33,99

 

Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек. В соответствии с ним каждый уровень ряда сравнивается с двумя рядом стоящими. Если он больше или меньше их, то эта точка считается поворотной. Далее подсчитывается сумма поворотных точек «р». В случайном ряду чисел должно выполняться строгое неравенство:

Квадратные скобки здесь означают, что от результата вычислений берется целая часть числа (не путать с процедурой округления!). При N = 9 в правой части неравенства имеем: [2,41] = 2. Следовательно, свойство случайности выполняется.

При проверке независимости (отсутствия автокорреляции) определяется отсутствие в ряду остатков систематической составляющей. Это проверяется с помощью d-критерия Дарбина - Уотсона, в соответствии с которым определяется коэффициент d:

Вычисленная величина этого критерия сравнивается с двумя табличными уровнями: нижним d 1= 1,08 и верхним d 2 = 1,36.

d = 1,31, т.к. d 1 < d < d 2 - то однозначного вывода сделать нельзя и необходимо применение других критериев, например, первого коэффициента автокорреляции r (1), который вычисляется по формуле:

Если r(1) > r (табл.) (при N < 15 r (табл) = 0,36), то присутствие в остаточном ряду существенной автокорреляции подтверждается.

r (1) = 0,15.

Следовательно, по этому критерию также подтверждается выполнение свойства независимости уровней остаточной компоненты.

Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS-критерия:

RS = (Emax – Emin): S,

где Emax – максимальный уровень ряда остатков;

Emin – минимальный уровень ряда остатков;

S – среднее квадратическое отклонение.

Если значение этого критерия попадает между табулированными границами с заданным уровнем вероятности, то гипотеза о нормальном распределении ряда остатков принимается. Для N = 10 и 5%-го уровня значимости этот интервал равен (2,7 – 3,7).

В нашем примере: Emax = 3,87и Emin = –3,53.

= 2,47.

RS = 2,99.

Расчетное значение попадает в интервал. Следовательно, свойство нормальности распределения выполняется, что позволяет строить доверительный интервал прогноза.

Для характеристики точности воспользуемся среднеквадратическим отклонением и средней относительной ошибкой:

=3,78

Ее величина не более 5% свидетельствует о достаточном уровне точности модели (ошибка в 10 и более процентов является очень большой).

Точечный прогноз на k шагов вперед получается путем подстановки в модель параметра t= N+ 1 ,..., N+k. При прогнозировании на два шага имеем:

Yp (10) = 20,33 + 7,13 * 10 = 91,67 (k = 1, t = 10),

Yp (11) = 20,33 + 7,13 * 11 = 98,80 (k = 2, t = 11).

Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы:

Верхняя граница прогноза = Yp (N + k) + U (k),

Нижняя граница прогноза = Yp (N + k)– U (k).

Величина U (k) для линейной модели имеет вид:

.

Коэффициент Kp является табличным значением t -статистики Стьюдента. Если исследователь задает уровень вероятности попадания прогнозируемой величины внутрь доверительного интервала, равный 70%, то Kp = 1,05.

U (1) = 3,21.

U (2) = 3,40.

Таблица 6.3 – Прогнозные оценки по линейной модели

Время t Шаг k Прогноз Yp(t) Нижняя граница Верхняя граница
10,00 1,00 91,67 88,46 94,88
11,00 2,00 98,80 95,40 102,20

 

Если построенная модель адекватна, то с выбранной пользователем вероятностью можно утверждать, что при сохранении сложившихся закономерностей развития прогнозируемая величина попадет в интервал, образованный нижней и верхней границами. В нашем случае такое утверждение правомерно из-за полной адекватности модели.

На рисунке 6.1 представлены результаты аппроксимации и прогнозирования по линейной модели.

Рисунок 6.1 – Результаты аппроксимации и прогнозирования по линейной модели


 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.007 сек.)