Розділ 11 МЕТОД РІВНОВАЖНИХ ГРАНИЧНИХ ЕЛЕМЕНТІВ

В даному розділі описується метод рівноважних граничних елементів (МРГЕ), розроблений в ряді робіт автора [36-41]. Ідея методу полягає у сумісному використанні МКЕ та так званих рівноважних апроксимацій, які точно задовільняють диференціальні рівняння рівновагою в переміщеннях. За рахунок цього за допомою певних прийомів вдається виключити інтеграли, які важко обчислити за об’ємом тіла, понизивши тим самим розмірність задачі на одиницю. Виключно висока обчислювальна ефективність цього методу обумовлена істотним скороченням порядку дозволяючої системи лінійних рівнянь за рахунок того, що розглядаються тільки граничні вузли тіла. Всередині тіла всі необхідні рівняння задовільняються тотожно, тому сітку КЕ потрібно будувати тільки на границі. Переміщення граничних вузлів визначається з умови максимально точного задовільнення граничних умов, для чого побудовані відповідні граничні інтегральні співвідношення.

Слід відзначити схожість МРГЕ з класичним варіантом методу граничних елементів [13, 18, 19, 62, 122] адже в обох методах вдається виключити з розгляду об’ємні інтеграли. Проте, на відміну від останнього, МРГЕ володіє рядом переваг, про які йтиме мова нижче.

Не дивлячись на простоту використаних ідей, до нинішнього часу схожі методики розв’язку краєвих задач із застосуванням аппарату кінцево-елементної апроксимації не використовувались. Очевидно, це пов'язано з деякими труднощами проблеми побудови рівноважних аппроксимацій і вибору граничних інтегральних співвідношень. Один із шляхів побудови рівноважних аппроксимацій полягає у використанні так званих представлень Папковича-Нейбера [16, 17, 63, 86, 93, 125], які виражають загальні рішення системи диференціальних рівнянь теорії пружності через гармонійні функції. Ці представлення досить широко використовуються в аналітичних методах розв'язку краєвих задач, таких як метод однорідних розв'язків [30, 95], метод суперпозиції [30, 93], метод рядів [58]. В працях [16, 17] ці представлення використовувались для побудови спеціальних класів статечних (степеневих) поліномів. У аналітичних методах шукані коефіцієнти розкладань визначаються з рішення нескінченних систем лінійних алгебрагічних рівнянь (рівнянь алгебри) [18, 76]. В числових методах вибирається кінцеве число членів рівноважного ряду, а для отримання дозволяючих систем рівнянь застосовуються різні способи.Наприклад, в працях [16, 17] використовується метод граничних коллокацій, який, не дивлячись на свою простоту, володіє рядом недоліків.

Перспективний шлях використання рівноважниж розв’язків полягає в застосуванні ідей МКЕ. Такий шлях, по-перше, забезпечує наглядність отриманих розв’язків, а по-друге дозволяє використовувати багатий арсенал обчислювальних засобів МКЕ.

На жаль, зручні представлення Папковича-Нейбера вірні тільки для ізотропних тіл. Для анізотропних матеріалів для побудови рівноважних апроксимацій доводиться застосовувати складніші методики.

Ще однією принципово важливою проблемою є коректний вибір дозволяючих інтегральних співвідношень. У цьому розділі вони будуються на основі варіаційних співвідношень механіки, що призводить до симетричних систем лінійних рівнянь.

Слід зазначити, що МРГЕ використовує ідеї деяких близьких до нього методів: методів кінцевих [10, 22, 26, 46, 47, 71, 73, 75, 78, 82, 83, 85, 94, 103, 104, 109, 111, 114, 120, 121, 134, 135] і граничних [13, 18, 19, 62, 122] елементів, методу суперелементів [72, 111], варіаційного методу Трефтца [74]. Окремими випадками МРГЕ є метод рівноважних кінцевих елементів [37-40], а також класичний варіант МКЕ.

Поиск по сайту: