 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
ОПИСАНИЕ ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА
Рассмотрим квадратную матрицу n-ого порядка:
Собственные значения li 
квадратной матрицы A есть действительные или комплексные числа, удовлетворяющие условию:
,
E – единичная матрица; 
- собственный вектор матрицы A, соответствующий некоторому собственному значению l. Матрица 
называется характеристической матрицей матрицы A. Т.к. в матрице 
по главной диагонали стоят l, а все остальные элементы равны нулю, то характеристическая матрица имеет вид:
Определитель этой матрицы называется характеристическим (вековым) определителем и равен:
В развернутом виде он является многочленом n-ой степени относительно l, т.к. при вычислении этого определителя произведение элементов главной диагонали дает многочлен со старшим членом 
, т.е.
и называется характеристическим многочленом. Корни 
этого многочлена – собственные значения или характеристические числа матрицы A.
Числа 
называются коэффициентами характеристического многочлена.
Сущность метода Данилевского заключается в приведении векового определителя к так называемому нормальному виду Фробениуса
(1) Если удастся записать вековой определитель в такой форме, то, разложени его по элементам первой строки будет иметь вид:
Таким образом, задача сводится к нахождению матрицы D в форме Фробениуса, подобной матрице A, так как собственные числа инвариантны относительно операции подобия.
Процедура последовательно преобразует строки исходной матрицы, начиная с последней, к виду (1). При этом преобразование осуществляется таким образом, чтобы полученные матрицы были подобны.
Опишем начало процесса.
Вначале необходимо строку исходной матрицы a
an,1 an,2...an,n-1, an,n
привести к виду 0 0... 1 0. Предполагая, что an,n-1не равно нулю, разделим все элементы (n-1)-го столбца матрицы а на an,n-1.
Тогда её n-я строка примет вид
an,1 an,2... 1, an,n
Затем вычтем (n-1) –й столбец преобразованной матрицы, умноженный соответственно на числа an,1 an,2..., an,n, из всех остальных её столбцов. В результате получим матрицу, последняя строка которой имеет желаемый вид
0 0 … 1 0.
Эти же преобразования произведём над матрицей m, полученной путём копирования единичной матрицы.
mn-1,i = -an,i/an,n-1 при i≠n-1 и mn-1,n-1 = 1/an,n-1 (2)
Используя правило умножения матриц, найдём матрицу b:
bi j=ai j - ai n-1an i / an n-1 при i=1,..,n; j ≠n-1; bi n-1=ai n-1 / an n-1, при i=1,..,n (3)
Последняя строка построенной матрицы B будет удовлетворять нашим условиям, но не будет подобна матрице a, поэтому проведем еще одно преобразование и получим матрицу c, подобную a и сохраняющую последнюю строку:
сi j=bi j при i=1,..,n-2 cn-1 j=an 1b1 j+an 2b2 j+... +an nbn j при j=1,...,n (4)Таким образом получили матрицу c, подобную a и с последней строкой как в матрице приведённого вида Фробениуса. Продолжая этот процесс, приняв за исходную матрицу матрицу с, преобразуем аналогично (n-2) -ю строку матрицы с и т.д.
Преобразования методом Данилевского нельзя продолжить, когда делитель в (2) равен нулю. Эти случаи в курсовой работе не рассматриваются, а программа выдаст предупреждающее сообщение и завершится.
Поиск по сайту: