Для математического ожидания при неизвестной дисперсии

В качестве статистики для построения этого доверительного интервала выберем , которая имеет –распределение с степенью свободы.

Введем в рассмотрение центрированные нормированные случайные величины , которые имеют стандартное нормальное распределение.

1. , а последняя сумма как нетрудно видеть распределена по нормальному закону со средним нуль и дисперсией единица, так как

а) линейная комбинация нормальных случайных величин есть нормальная величина;

б) ;

в) .

2. Определим случайные величины как результат воздействия на ортогонального преобразования, следующего вида

, ,

.

Тогда

А так как все , имеют стандартное нормальное распределение и независимы, то по определению сумма имеет
–распределение с степенью свободы.

Так как случайные величины , независимы, и зависит только от , и не зависит от , то и величины , независимы.

3. Далее

,

в силу независимости случайных величин , по определению дробь имеет –распределение с степенью свободы.

Таким образом, с учетом того, что распределение Стьюдента симметрично имеем , здесь квантиль –распределения с степенью свободы уровня . Откуда получаем доверительный интервал

.

Поиск по сайту: