АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Геометрична інтерпретація комплексних чисел

Читайте также:
  1. Алгебраїчна форма запису комплексних чисел та дії над комплексними числами, записаними у цій формі
  2. В будущее с помощью чисел
  3. Введите через пробел 15 чисел
  4. Ввод чисел и символов в калькулятор
  5. Взаимосвязь чисел и букв
  6. Визначення необхідної чисельності вибірки.
  7. Властивості спряжених чисел
  8. Выбор максимального из трёх чисел с использованием подпрограммы–функции выбора максимума из двух чисел.
  9. Генератор псевдослучайных чисел ANSI X9.17
  10. Генераторы псевдослучайных чисел
  11. Генерация случайных чисел по различным законам распределения

Оскільки комплексне число визначається як пара дійсних чисел, те природною геометричною інтерпретацією є зображення комплексного числа z = а + ib точкою площини ху з декартовими координатами х = а й у = b. Число z = 0 ставиться у відповідність початку координат даної площини. Таку - площина ми надалі будемо називати комплексною площиною, вісь абсцис — дійсної, а вісь ординат — мнимою віссю комплексної площини. При цьому, мабуть, установлюється взаємно однозначна відповідність між множиною всіх комплексних чисел і множиною крапок комплексної площини, а також між множиною всіх комплексних чисел z = a+ib і множиною вільних векторів, проекції х и у яким на осі абсцис й ординат відповідно рівні а й b.

Дуже важливою є також інша форма подання комплексних чисел. Для визначення положення крапки на площині можна користуватися полярними координатами де - відстань крапки від початку координат, а - кут, що становить радіус-вектор даної крапки з позитивним напрямком осі абсцис. Позитивним напрямком зміни кута вважається напрямок проти вартовий стрілки .Скориставшись зв'язком декартових і полярних координат: , одержимо так називану тригонометричну форму запису комплексного числа:

(1.3)

При цьому звичайно називають модулем, а аргументом комплексного числа й позначають . Попередні формули дають вираження дійсної й мнимої частин комплексного числа через його модуль й аргумент. Легко виразити модуль й аргумент комплексного числа через його дійсну й мниму частини: (при виборі з рішень останнього рівняння значення варто врахувати знаки а й b). Відзначимо, що аргумент комплексного числа визначений не однозначно, а з точністю до адитивного що складає, кратного .

Два відмінних від нуля комплексні числа рівні між собою в тім і тільки в тому випадку, якщо рівні їхні модулі, а значення аргументів або рівні, або відрізняються на число, кратне .

Комплексно сполучені числа мають той самий модуль, а значення їхніх аргументів, при відповідному виборі областей їхньої зміни, розрізняються знаком.

Нарешті, використовуючи відому формулу Ейлера , одержуємо показову форму запису комплексного числа: (1.4)

 

Рисунок 1- Операції над векторами

Відзначене вище відповідність між множиною всіх комплексних чисел і плоских векторів дозволяє ототожнити операції додавання й вирахування комплексних чисел з відповідними операціями над векторами (рисунок 1). При цьому легко встановлюються нерівності трикутника:

(1.5)

Модуль різниці двох комплексних чисел має геометричний сенс відстані між відповідними крапками на комплексній площині. Відзначимо, крім того, очевидні нерівності .

Для виконання операції множення зручно користуватися тригонометричною формою подання комплексних чисел. Відповідно до правил множення одержуємо

(1.6)

звідси, , тобто модуль добутку дорівнює добутку модулів, а аргумент — сумі аргументів співмножників. У випадку ділення комплексних чисел при має місце аналогічне співвідношення:

(1.7)


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)