|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Ортогональные преобразованияОпределение 1. Линейное преобразование в евклидовом пространстве E называется ортогональным, если оно сохраняет скалярное произведение, т.е. E , . (1) Утверждение 1. Ортогональное преобразование имеет обратное преобразование и Действительно, из (1) Следствие. В ортонормированном базисе ортогональное преобразование имеет ортогональную матрицу: определитель матрицы ортогонального преобразования равен Определение 2. Если , то преобразование называется собственным, если , то несобственным. Утверждение 2. Если – подпространство, инвариантное относительно ортогонального преобразования , то (ортогональное дополнение) – также инвариантное подпространство. Доказательство: Пусть , т.е. т.к. оно не вырождено взаимооднозначно . ■ Задача. Доказать, что произведение двух собственных и двух несобственных ортогональных преобразований есть собственное. Собственное получается непрерывным переходом из единичного, несобственное – после отражения. Изучим ортогональные преобразования в одно– и двумерных пространствах. Изучение ортогональных преобразований в числе измерений сводится к их изучению. Если , то – вектор, задающий одномерное пространство. – ортогональное преобразование. Пусть в одномерном пространстве есть лишь два ортогональных преобразования: – собственное, и – несобственное. Рассмотрим ортогональное преобразование в двумерном пространстве , – задается матрицей . А) Собственное преобразование, т.е. Из ортогональности Пусть , т.е. всякое собственное ортогональное преобразование в двумерном пространстве имеет матрицу в ортонормированном базисе (поворот на ). Б) несобственное преобразование, т.е. характеристическое уравнение имеет вид: имеет вещественные корни пусть – собственное значение , т.е. Из ортогональности Пусть – ортогонален и так как ортогональные преобразования не меняют углов между векторами и их длин в базисе имеет вид Т.к. возможны два случая: и (зеркальное отражение относительно одной из осей). Найдем теперь простейший вид ортогонального преобразования в . Лемма 1. У всякого линейного преобразования в вещественном пространстве одномерное или двумерное инвариантное подпространство. Доказательство: Пусть – базис в и – матрица в базис . Рассмотрим характеристическое уравнение .
Пусть , Тогда что означает, что – двумерное инвариантное подпространство. ■ Теорема. Пусть – ортонормированное преобразование в – мерном евклидовом пространстве E . В E существует ортонормированный базис , в котором имеет вид (2) Все элементы, кроме выписанных, равны нулю. Доказательство: По лемме 1, в E можно выбрать либо одномерное, либо двумерное инвариантное подпространство. Если это одномерное подпространство, то выберем базисный вектор e: . Тогда . Если двумерное подпространство, то пусть – ортонормированный базис, следовательно, – собственное ортогональное преобразование, имеющее матрицу (3) (см. лемму 1). Совокупность векторов, ортогональных выбранным инвариантным подпространствам ( или ) есть снова инвариантное подпространство, следовательно, процедуру можно продолжить. Таким образом, получено n попарно ортогональных векторов, в базисе этих векторов матрица линейного преобразования имеет вид (2). Одномерные клетки с отвечают одномерным инвариантным подпространствам, а клетки (3) – двумерным. ■
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.) |