Геометрические преобразования точек и отрезков. Однородные координаты

Аппарат декартовых координат не подходит для решения некоторых задач в силу следующих особенностей:

-отсутствие унифицированного механизма работы с матрицами преобразований что затрудняет формирование суммарного преобразования

-декартовы координаты не позволяют провести различия между точками и векторами в пространстве

-в декартовых координатах невозможно описать бесконечно удаленный источник света

-декартовы координаты не позволяют использовать матричную запись для преобразования проекции.

Однородные координаты – это математический механизм связанный с опеределением положения точек в пространстве.

Двумерные однородные координаты точки имеют вид:
x,y,w w – масштабный множитель, не равный 0.

Переход от однородных координат к двумерным декартовым осуществляется делением на множитель w.

Однородные координаты – это промасштабированные с коэфф w значения двумерных координат расположенные в плоскости Z=w.

Св-ва:

-одной точке декартова пространства могут быть поставлены в соотв 2 и более наборов чисел в однородных координатах, если они могут быть получены одно из другого умножением на некий множитель.

-в однородных координатах не существует единого представления точки заданной в декартовых координатах.

-как минимум одно число из тройки должно быть отлично от нуля, а тройка 0.0.0 – не определена

-если w не равно 0 то деление на неё даст декартовы координаты.

-если w=0 то это бесконечно удаленная точка

Однородyые координаты исп для определения источника света.

Переход от однородных координат к декартовым – проекция однородных координат

От декартовых к однородным – переход от n-го пространства к (n+1) мерному.

Запись в однородных координатах точки 2D пространства – трехэлементный вектор-столбец и строка.

Позволяет все матрицы преобразований привести к виду матрицы Позволяет все матрицы преобразований привести к виду матрицы 3х3.

Преобразования в однородных координатах в матричном виде имеет вид
p`=p*T
Двумерные преобразования

Перенос, растяженияе(сжатие) вдоль оси, поворот относительно начала координат на угол Ф, отражение, сдвиг.

Общий вид: A B P

D E Q

L M S

A,B,D,S – изменение масштаба, поворот и сдвиг

L,M – перенос

P,Q – проецирование с центром проекции в начале координат

S – общие изменение масштаба

Способы задания вращения:
1.Углы Эйлера

-задаются углы поворота относительно координатных осей

2.Смешанный способ

Задают 3 компонента образующих вектор поворота. 2 компонента – координаты для определения положения ось вращения(хранят в виде единичного вектора)

3-я координата служит для задания угла поворота относительно данной оси.

Общий вид:

A B C P

D E F Q

G H I R

L M N S

Поиск по сайту: