Задание 4. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения с надежностью Ã

Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения с надежностью Ã, зная выборочное среднее , объём выборки n, выборочную дисперсию S*².

Таблица 2.2

Индивидуальные задачи к заданию 4

m		Ã	n	S*2
	1,9	0,9		1,96
	2,7	0,95		2,25
	3,5	0,99		1,21
	1,8	0,9		1,44
	4,6	0,95		1,69
	2,5	0,99		2,56
	15,3	0,9		2,89
	12,2	0,95		3,24
	14,7	0,99		3,61
	5,8	0,9		4,41
	6,2	0,95		4,84

Продолжение табл. 2.2

2.5. Задание 5

Для заданного интервального ряда выборки проверить гипотезу: закон распределения генеральной совокупности является нормальным.

Таблица 2.3

Индивидуальные данные к заданию 5

Продолжение табл. 2.3

Продолжение табл. 2.3

Продолжение табл. 2.3

2.6. Задание 6

Для двух случайных величин X и Y проведена серия испытаний. Результаты испытаний записаны в следующую корреляционную таблицу:

Таблица 2.4

Индивидуальные данные к заданию 6

Х Y
		C
	D		B
					A

1. Вычислить выборочные характеристики MX, MY, исправленные SX, SY, коэффициент корреляции r_XY.

2. Проверить для доверительной вероятности Ã = 0,95 значимость коэффициента корреляции r_XY.

3. Написать уравнения прямых регрессий Y на X и X на Y.

4. В подходящем масштабе изобразить на графике точки (x, y) из корреляционной таблицы и прямые регрессии.

2.7. Задание 7

Над случайными величинами X, Y, Z проведена серия из 8 наблюдений. Результаты записаны в таблицу

Таблица 2.5

Индивидуальные данные к заданию 7

Вычислить:

1) матрицу моментов;

2) корреляционную матрицу;

3) коэффициент множественной корреляции между переменной Z (как функции от X, Y) и переменными X, Y.

3. Примеры решения задач

Пусть N = 9, n = 50. Тогда А = 12, В = 3, С = 2, D = 3.

3.1. Пример 1

Рассмотрим пример решения задачи 6.

Для заданных значений параметров А, В, С, D корреляционная таблица имеет вид:

Таблица 3.1

Корреляционная таблица для заданных А, В, С, D.

X Y
	¾		¾	¾	¾	¾
		¾		¾	¾	¾
	¾	¾
	¾	¾	¾	¾		¾

Объём выборки равен 2 +3 + 3 +1 + 2 + 12 + 1 + 1 = 25.

1) Вычислим выборочные характеристики:

M[X] = = ;

M[Y] = = ;

;

;

;

;

S[X] = 1,532; S[Y]= 0,748;

cov(X, Y) = M[XY] – M[X]×M[Y]= ;

0,796.

2)Пусть гипотеза H₀ такова: коэффициент корреляции значим. Конкурирующая гипотеза H₁: коэффициент корреляции не значим. Для проверки гипотезы H₀ необходимо найти arcthR(X, Y) и , где n – объём выборки (n = 25), t(P) – квантиль нормального распределения, который находится из условия 2Ф(t) = P, где Ф(t) – функция Лапласа, P – доверительная вероятность. Если |arcthR(X,Y)| > , то с доверительной вероятностью P гипотеза H₀ принимается, в противном случае – принимается конкурирующая гипотеза.

Пусть гипотеза H₀ такова: коэффициент корреляции R(X, Y) близок к единице. Конкурирующая гипотеза H₁: коэффициент корреляции далек от единицы. Вычислим . Если arcth|R(X,Y)| > , то с доверительной вероятностью P гипотеза H₀ принимается, в противном случае принимается гипотеза H₁.

Найдем

arcthR(X,Y) = arcth 0,796 = 1,088.

Пусть доверительная вероятность P равна 0,95. Тогда 2Ф(t) = 0,95. Ф(t) = 0,475. По таблице значений функции Лапласа находим t = 1,96.

= =0,418. 1,088>0,418, следовательно, коэффициент корреляции в нашем случае считается значимым.

0,446. 1,088 > 0,446, следовательно, коэффициент корреляции близок к единице.

3)В общем случае уравнения прямых регрессий имеют вид:

Y на X: ,

X на Y: .

При решении данной задачи уравнения прямых регрессий примут вид:

y – 2,6 = 0,388(x – 2,88);

x – 2,88 = 1,63(y – 2,6).

Графически прямые регрессии изображены на рис. 3.1.

3.2. Пример 2

Рассмотрим пример решения задачи 7.

При заданных значениях параметров выборка для X, Y и Z имеет вид:

Таблица 3.2

Выборка для X,Y и Z

1) Вычислим матрицу моментов. Объём выборки равен 8.

Найдем 3; 3; .

21,5; 21,5;

.

D[X] = M[X²] – M²[X]=12,5; аналогично, D[Y] = 12,5; D[Z] = 13,859.

= 3,536; S[Y] = 3,536; S[Z] = 3,723.

;

;

.

cov(X,Y)=8-3×3= -1; cov(X,Z) = cov(Y,Z) =

Матрица моментов запишется в виде:

.

2)Вычислим коэффициенты корреляции.

; ;

.

Запишем корреляционную матрицу.

.

3)Коэффициент множественной корреляции вычисляют по формуле:

В нашем случае R(Z,XY) =0,383.

Библиографический список

1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и её инженерные приложения. М.: 1986.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высш. шк., 1997.

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высш. шк., 1997.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.2. М.: Наука, 1978.

Поиск по сайту: