Теоретическая часть. Цель: Исследование методов многомерной оптимизации

Лабораторная работа №2

Цель: Исследование методов многомерной оптимизации.

Теоретическая часть

О численных методах многомерной оптимизации.

Задача многомерной безусловной оптимизации формулируется в виде:

min f(x),

xÎX

где x={x⁽¹⁾, x⁽²⁾,…, x⁽ⁿ⁾} – точка в n-мерном пространстве X=IRⁿ, то есть целевая функция f(x)=f(x⁽¹⁾,…,f(x⁽ⁿ⁾) – функция n аргументов.

Так же как и в первой лабораторной работе мы рассматриваем задачу минимизации. Численные методы отыскания минимума, как правило, состоят в построении последовательности точек {x_k}, удовлетворяющих условию f(x₀)>f(x₁)>…>f(x_n)>…. Методы построения таких последовательностей называются методами спуска. В этих методах точки последовательности {x_k} вычисляются по формуле:

х_k+1 = x_k + a_kp_k, k=0,1,2,…,

где p_k – направление спуска, a_k – длина шага в этом направлении.

Различные методы спуска отличаются друг от друга способами выбора направления спуска p_k и длины шага a_k вдоль этого направления. Алгоритмы безусловной минимизации принято делить на классы, в зависимости от максимального порядка производных минимизируемой функции, вычисление которых предполагается. Так, методы, использующие только значения самой целевой функции, относят к методам нулевого порядка (иногда их называют также методами прямого поиска); если, кроме того, требуется вычисление первых производных минимизируемой функции, то мы имеем дело с методами первого порядка; если же дополнительно используются вторые производные, то это методы второго порядка и т. д.

Градиентные методы

1. Общая схема градиентного спуска.

Как известно, градиент функции в некоторой точке x_k направлен в сторону наискорейшего локального возрастания функции и перпендикулярен линии уровня (поверхность постоянного значения функции f(x), проходящей через точку x_k). Вектор, противоположный градиенту f’(x_k), называется антиградиентом, который направлен в сторону наискорейшего убывания функции f(x). Выбирая в качестве направления спуска p_k антиградиент - f’(x_k), в точке x_k, мы приходим к итерационному процессу вида:

x_k+1 = x_k - a_k f’(x_k), a_k>0, k=0,1,2,….

Все итерационные процессы, в которых направление движения на каждом шаге совпадает с антиградиентом функции, называются градиентными методами. Они отличаются друг от друга только способом выбора шага a_k. Существует много различных способов выбора a_k, но наиболее распространены: метод с постоянным шагом, метод с дроблением шага и метод наискорейшего спуска.

2. Градиентный метод с постоянным шагом.

Основная проблема в градиентных методах – это выбор шага a_k. Достаточно малый шаг a_k обеспечивает убывание функции, то есть выполнение неравенства:

f(x_k - a_k (x_k))) < f(x_k),

но может привести к неприемлемо большому количеству итераций, необходимых для достижения точки минимума. С другой стороны, слишком большой шаг может вызвать неожиданный рост функции (невыполнение условия убывания) либо привести к колебаниям около точки минимума. Однако проверка условия убывания на каждой итерации является довольно трудоемкой, поэтому в методе градиентного спуска с постоянным шагом задают a=a_k постоянным и достаточно малым, чтобы можно было использовать этот шаг на любой итерации. При этом приходится мириться с возможно большим количеством итераций. Утешением является лишь то, что трудоемкость каждой итерации, в этом случае, минимальна (нужно вычислять только градиент ).

Схема алгоритма

Шаг 1.

Задаются начальное приближение х₀, постоянный шаг a, условия останова алгоритма e₃. Вычисляется значение градиента – направление поиска. Присваивается к=0.

Шаг 2.

Определяется точка очередного эксперимента:

х_к+1 = х_к - af’(x_k),

Шаг 3.

Вычисляется значение градиента в точке х_к+1:

,

Шаг 4.

Если || ||£e₃, то поиск заканчивается, при этом:

Иначе к=к+1 и переходим к шагу 2.

3. Градиентный метод с дроблением шага.

В методе градиентного спуска с дроблением шага величина шага a_к выбирается так, чтобы было выполнено неравенство:

f(x_k-a_k )-f(x_k)£-da_k|| ||²,

где 0<d<1 – произвольно выбранная постоянная (одна и та же для всех итераций). Это требование на выбор шага a_к более жесткое, чем условие убывания, но имеет тот же смысл: функция должна убывать от итерации к итерации. Однако при выполнении неравенства функция будет уменьшаться на гарантированную величину, определяемую правой частью неравенства.

Процесс выбора шага протекает следующим образом. Выбираем число a>0, одно и то же для всех итераций. На к-й итерации проверяем выполнение неравенства при a_к=a. Если оно выполнено, полагаем a_к=a и переходим к следующей итерации. Если нет, то шаг a_к дробим, например уменьшаем каждый раз в два раза, до тех пор, пока оно не выполнится.

Схема алгоритма

Шаг 1.

Задаются х₀, e₃, d и начальное значение шага a. Вычисляется значение градиента – направление поиска. Присваивается к=0.

Шаг 2.

Проверяется условие: f(x_k-a )£-da|| ||². Если выполняется, то переходим к шагу 3, иначе дробим значение a (a=a/2) и повторяем шаг 2.

Шаг 3.

Определяется точка очередного эксперимента: х_к+1 = х_к - a .

Шаг 4.

Вычисляется значение градиента в точке х_к+1: .

Шаг 5.

Если || ||£e₃, то поиск заканчивается, при этом:

4. Метод наискорейшего спуска.

называется методом наискорейшего спуска. Разумеется, этот способ выбора a_к сложнее ранее рассмотренных вариантов.

Реализация метода наискорейшего спуска предполагает решение на каждой итерации довольно трудоемкой вспомогательной задачи одномерной минимизации. Как правило, метод наискорейшего спуска, тем не менее, дает выигрыш в числе машинных операций, поскольку обеспечивает движение с самым выгодным шагом, ибо решение задачи одномерной минимизации связано с дополнительными вычислениями только самой функции f(x), тогда как основное машинное время тратится на вычисление ее градиента .

Следует иметь в виду, что одномерную минимизацию можно производить любым методом одномерной оптимизации, что порождает различные варианты метода наискорейшего спуска.

Схема алгоритма

Шаг 1.

Задаются х₀, e₃. Вычисляется градиент , направление поиска.

Присваивается к=0.

Шаг 2.

Определяется точка очередного эксперимента:

х_к+1 = х_к - a_к ,

Шаг 3.

Вычисляется значение градиента в точке х_к+1: .

Шаг 4.

Иначе к=к+1 и переход к шагу 2.

Метод покоординатного спуска.

Желание уменьшить объем вычислительной работы, требуемой для осуществления одной итерации метода наискорейшего спуска, привело к созданию методов покоординатного спуска.

где е₂={0,1,0,…,0}^T – единичный вектор оси х⁽²⁾ и т. д.

Таким образом, в методах координатного спуска мы спускаемся по ломанной, состоящей из отрезков прямых, параллельных координатным осям.

Спуск по всем координатам составляет одну «внешнюю» итерацию. Пусть к – номер очередной внешней итерации, а j – номер той координаты, по которой производится спуск. Тогда формула, определяющая следующее приближение к точке минимума, имеет вид:

После j=n счетчик числа внешних итераций к увеличивается на единицу, а j принимает значение равное единице.

Величина шага a_к выбирается на каждой итерации аналогично тому, как это делается в градиентных методах. Например, если a_к=a постоянно, то имеем покоординатный спуск с постоянным шагом.

Схема алгоритма покоординатного спуска с постоянным шагом

Шаг 1.

При к=0 вводятся исходные данные х₀, e₁, a.

Шаг 2.

Шаг 3.

Иначе к=к+1 и переходим к шагу 2.

то мы получаем аналог метода наискорейшего спуска, называемый обычно методом Гаусса – Зейделя.

Схема метода Гаусса – Зейделя

Шаг 1.

При к=0 вводятся исходные данные х₀, e₁.

Шаг 2.

Шаг 3.

Иначе к=к+1 и переходим к шагу 2.

Методы оврагов

1. Общая характеристика.

Градиентные методы медленно сходятся в тех случаях, когда поверхности уровня целевой функции f(x) сильно вытянуты. Этот факт известен в литературе как «эффект оврагов». Суть эффекта в том, что небольшие изменения одних переменных приводят к резкому изменению значений функции – эта группа переменных характеризует «склон оврага», а по остальным переменным, задающим направление «дно оврага», функция меняется незначительно. На рисунке изображены линии уровня «овражной» функции траектория градиентного метода характеризуется довольно быстрым спуском на «дно оврага», и затем медленным зигзагообразным движением в точку минимума.

Существуют различные подходы для определения точки минимума функции f(x) в овражной ситуации. Большинство из них основаны на эвристических (то есть интуитивных, не обоснованных строго) соображениях. Их можно применять в ситуациях, когда применение более совершенных методов невозможно или нецелесообразно, например, значение целевой функции вычисляется со значительными погрешностями, информация о ее свойствах недостаточна, и т. д. Эти методы просты в реализации и довольно часто применяются на практике, позволяя в ряде случаев получить удовлетворительное решение задачи.

2. Эвристические алгоритмы.

Иногда, используя градиентный спуск для минимизации функций со сложной топографической структурой, применяют эвристические схемы, которые идейно близки к методам спуска. Мы рассмотрим две такие схемы.

Первая эвристическая схема содержит два основных этапа. Оба этапа представляют собой аналоги градиентного спуска с постоянным шагом. Только вместо градиента используется вектор g(x), формируемый из координат , но на каждом из этапов по разным правилам.

На первом этапе задается малое число d₁<<1 и используется градиентный спуск, где вместо градиента берется вектор g(x)={g⁽¹⁾(x),…,g⁽ⁿ⁾(x)}, который определяется следующим образом:

Таким образом, спуск производится лишь по тем переменным, в направлении которых производная целевой функции достаточно велика. Это позволяет быстро спуститься на «дно оврага». Мы спускаемся до тех пор, пока метод не зациклится, то есть до тех пор, пока каждая следующая итерация позволяет найти точку, в которой значение функции меньше, чем значение, найденное в предыдущей итерации. После этого переходим к следующему этапу.

На втором этапе задается некоторое большое число d₂>>1 и используется процедура спуска, где вместо градиента берется вектор g(x)={g⁽¹⁾(x),…,g⁽ⁿ⁾(x)}, который определяется следующим образом:

В этом случае перемещение происходит по «берегу» оврага вдоль его «дна». Как и на первом этапе, спуск продолжается до тех пор, пока метод не зациклится.

После выполнения первого и второго этапов принимается решение о завершении работы или продолжении. Для этого сравнивается норма разности предыдущей точки, то есть точки, которую мы имели до применения первого и второго этапов, с текущей точкой, то есть полученной после применения с точностью решения задачи e₁. Если эта норма меньше e₁ и норма градиента в текущей точке меньше e₃, то поиск заканчивается и последняя вычисленная точка принимается за приближенное решение задачи. Иначе для текущей точки вновь повторяем первый и второй этапы и т. д.

Схема алгоритма

Шаг 1.

Задаются х₀, e₁, e₃,d₁,d₂,a₁ – постоянный шаг пункта 1 и a₂ – постоянный

шаг пункта 2 (a₁<a₂). Присваивается к=0.

Шаг 2. (Первый этап).

Из точки х_к осуществляется спуск на «дно оврага» с постоянным шагом

a₁. При спуске вычисление очередной точки осуществляется с

использованием формул:

x_j+1 = x_j - a₁g(x_j), где g(x)={g⁽¹⁾(x),…,g⁽ⁿ⁾(x)},

Пусть этот процесс остановится в точке x_l.

Шаг 3. (Второй этап).

Из точки x_l осуществляется спуск вдоль «дна оврага» с постоянным шагом a₂. При спуске используются формулы: x_j+1 = x_j - a₂g(x_j), где

g(x)={g⁽¹⁾(x),…,g⁽ⁿ⁾(x)},

Пусть этот процесс остановился в точке x_m.

Шаг 4.

и поиск минимума заканчивается.

Иначе k=m и переходим к шагу 2.

3. Овражные методы (Метод Гельфанда).

Вторая эвристическая схема, предложенная И.М. Гельфандом, состоит в следующем.

Пусть х₀ и - две произвольные близкие точки. Из х₀ совершают обычный градиентный спуск с постоянным шагом и после нескольких итераций с малым шагом a попадем в точку u₀. Тоже самое делаем для точки , получая точку . Две точки u, лежат в окрестности «дна оврага». Соединяя их прямой, делаем «большой шаг» l в полученном направлении, перемещаясь «вдоль дна оврага» (шаг l называют овражным шагом). В результате получаем точку х₁. В ее окрестности выбираем точку и

повторяем процедуру.

Схема овражного метода 1.

Шаг 1.

Вводятся начальное приближение х₀, точность решения e₁ и e₃, шаг a для

градиентного спуска, начальное значение l для овражного шага. Из точки х₀

осуществляется градиентный спуск с постоянным шагом a на дно оврага. В

результате получается точка u₀. Полагается к=0.

Шаг 2.

В окрестности х_к берется точка и из нее осуществляется градиентный

спуск. В результате получается точка.

Шаг 3.

вычисляется точка x'_k+1. Из нее осуществляется градиентный спуск и мы получаем точку . Если f()<f(u_k), то полагаем x_k+1= и u_k+1= .

Иначе уменьшаем овражный шаг l (например в 2 раза l=l/2)и повторяем шаг 3.

Шаг 4.

и поиск минимума на этом заканчивается, иначе к=к+1 и переходим к шагу 2.

Рассмотрим другую реализацию той же идеи.

Пусть х₀ и х₁ – две произвольные близкие точки. Как и в предыдущем случае, из каждой точки осуществим градиентные спуски с постоянным шагом a. Получим точки u₀ и u₁, лежащие в окрестности «дна оврага». Соединяя их прямой, делаем «большой шаг» l в полученном направлении. В результате получим точку х₂. Из этой точки осуществим градиентный спуск и получим точку u₂. А вот далее, для того чтобы осуществить «овражный шаг», берем предпоследнюю точку u₁. Соединяя прямой точки u₂ и u₁, делаем шаг l в полученном направлении и определяем х₃. Дальше аналогичным образом вычисляются х₄,х₅, ….

Схема овражного метода 2

Шаг 1.

Задаются начальное приближение х₀, точность решения e₁ и e₃, шаг a для градиентного спуска, начальное значение l для овражного шага.

Из точки х₀ осуществляется градиентный спуск с постоянным шагом a на «дно оврага». В результате получается точка u’₀.

В окрестности х₀ берется точка х₁, из которой тоже осуществляется градиентный спуск на «дно оврага». В результате получается точка u’₁. Полагается к=1. Если f(u’₀)<f(u’₁), то полагаем u₀=u’₁, u₁=u’₀. Если f(u’₀)>f(u’₁), то u₀=u’₀, u₁=u’₁.

Шаг 2.

Новая точка х_к+1 определяется следующим образом. По формуле:

Иначе уменьшаем овражный шаг l (например в 2 раза l=l/2)и повторяем шаг 2.

Шаг 3.

Если ||u_k+1-u_k||£e₁ и || ||£e₃, то полагаем:

Методы прямого поиска.

1. Общая характеристика.

Методы прямого поиска – это методы, в которых используются только значения целевой функции (методы нулевого порядка). Рассмотрим следующие методы, основанные на эвристических соображениях. Эти методы довольно часто применяются на практике, позволяя в ряде случаев получить удовлетворительные решения.

Основное достоинство методов нулевого порядка состоит в том, что они не требуют непрерывности целевой функции и существования производных.

2. Метод конфигураций (метод Хука и Дживса).

Алгоритм включает в себя два основных этапа поиска.

а) В начале обследуется окрестность выбранной точки (базисной точки), в результате находится приемлемое направление спуска;

б) Затем в этом направлении находится точка с наименьшим значением целевой функции. Таким образом находится новая базисная точка.

Эта процедура продолжается пока в окрестностях базисных точек удается находить приемлемые направления спуска.

Схема алгоритма

Шаг 1.

Задаются начальное приближение (первая базисная точка)

, начальный шаг h для поиска направления спуска, точность решения d(предельное значение для шага h). Присваивается к=0.

Шаг 2. (Первый этап).

Определяется направление минимизации целевой функции f(x)=f(x⁽¹⁾,x⁽²⁾,…,x⁽ⁿ⁾) в базисной точке . Для этого последовательно дают приращение переменным x^(j) в точке х_к. Присвоим z=x_k. Циклически даем приращение переменным x^(j) и формируем z^(j)=x_k^(j)+h, если f(z)<f(x_k), если же нет, то z^(j)=x_k^(j)-h, если f(z)<f(x_k), иначе z^(j)=x_k^(j). Так для всех j(j=1,2,…,n).

Шаг 3.

Если z=x_k, то есть не определилось подходящее направление, то обследование окрестности базисной точки х_к повторяется, но с меньшим шагом h (например, h=h/2).

Если h>d, то перейти к шагу 2, то есть повторить обследование точки х_к.

Если h£d, то поиск заканчивается, то есть достигнуто предельное значение для шага h и найти приемлемое направление спуска не удается. В этом случае полагается

Шаг 4. (Второй этап).

Если z¹x_k, то требуется найти новую базисную точку в направлении

вектора z-x_k: x_k+1=x_k + l(z-x_k), где l - коэффициент «ускорения поиска».

Определяется такое значение l=l_к, при котором достигается наименьшее значение целевой функции в выбранном направлении, то есть функции

f(x_k +l(z-x_k) = j(l).

В зависимости от способа выбора l_к возможны варианты метода:

а) l_к=l=const постоянная для всех итераций;

б) задается начальное l₀=l, а далее l_к=l_к-1, если f(x_k+1)<f(x_k), иначе дробим l_к, пока не выполнится это условие;

в) l_к определяется решением задачи одномерной минимизации функции j(l).

Таким образом определяется новая базисная точка x_k+1=x_k + l(z-x_k). Полагаем к=к+1 и поиск оптимального решения повторяется с шага 2.

3.Метод симплекса.

Под симплексом понимается n-мерный выпуклый многогранник n-мерного пространства, имеющий n+1 вершину. Для n=2 это треугольник, а при n=3 это тетраэдр.

Идея метода состоит в сравнении значений функции в n+1 вершинах симплекса и перемещении симплекса в направлении лучшей точки. В рассматриваемом методе симплекс перемещается с помощью операций отражения. Далее принято следующее: х₀(k), х₁(k), …, х_n(k) – вершины симплекса, где к - номер итерации.

Схема алгоритма

Шаг 1.

Построение начального симплекса.

Для этого задаются начальная точка х₀(0) и длина ребра симплекса l. Формируются остальные вершины симплекса:

x_i(0) = x₀(0) + l*e_i (i=1,2,…,n), где e_i – единичные векторы.

Шаг 2.

Определение направления улучшения решения.

Для этого на к-й итерации вычисляются значения целевой функции в каждой точке симплекса. Пусть для всех i:

f(x_min(k))£f(x_i(k))£f(x_max(k)),

где min, max, i – номера соответствующих вершин симплекса. Определим центр тяжести всех точек, исключая точку x_max(k),

C_k=(Sx_i(k))/n.

Тогда направление улучшения решения определяется вектором C_k-x_max(k).

Шаг 3.

Построение отраженной точки.

Замена вершины x_max(k) с максимальным значением целевой функции на новую точку с помощью операции отражения, результатом которой является новая точка:

u_k=c_k+(c_k-x_max(k))=2c_k-x_max(k)

x⁽²⁾

	x(1)

Шаг 4.

Построение нового симплекса.

Вычисляем f(u_k). При этом возможен один из двух случаев:

а) f(u_k)<f(x_max(k);

б) f(u_k)³f(x_max(k).

Случай а): вершина x_max заменяется на u_k, чем определяется набор вершин к+1-й итерации и к-я итерация заканчивается.

Случай б): в результате отражения получается новая точка u_k, значение функции в которой еще хуже, чем в точке x_max, то есть отражать симплекс некуда. Поэтому в этом случае производится пропорциональное уменьшение симплекса (например, в 2 раза) в сторону вершины x_min(k):

x_i(k+1)=x^{^}_i=(x_i(k)+x_min(k))/2, где i=0,1,…,n.

На этом к-я итерация заканчивается.

Шаг 5.

Если

В противном случае к=к+1 и происходит переход к шагу 2.

4. Метод деформируемого симплекса (метод Нелдера – Мида).

Метод деформируемого симплекса обладает большей общностью и позволяет учитывать локальные свойства поверхности целевой функции. Симплексы вытягиваются в направлении наклона поверхности, их оси поворачиваются при встрече с оврагом на поверхности целевой функции, вблизи минимума они сжимаются.

В рассматриваемом методе симплекс перемещается с помощью трех основных операций над симплексом: отражение, растяжение и сжатие.

Схема алгоритма.

Шаг 1.

Построение начального симплекса.

Задаются начальная точка х₀(0) и длина ребра l. Формируются остальные вершины симплекса: x_i(0)=x₀(0)+le_i (i=1,2,…,n), где e_i – единичные векторы.

Шаг 2.

Определение направления улучшения решения.

Для этого на каждой итерации вычисляются значения целевой функции в каждой вершине симплекса. Пусть для всех i

f(x_min(k)) f(x_i(k)) f(x_m(k)) f(x_max(k)),

где min, m, max, i-номера соответствующих вершин симплекса. Определим центр тяжести всех точек, исключая точку x_max(k),

Тогда направление улучшения решения определяется векторов

C_k- x_max(k).

Шаг 3.

Построение нового симплекса.

Замена вершины x_max(k) с максимальным значением целевой функции на новую точку с помощью операции отражения, результат которой является новая точка

u_k=C_k+a*(C_k-x_max(k)), где a-коэффициент отражения.

Шаг 4.

Построение нового симплекса.

Вычисляем f(u_k), при этом возможно один из трех случаев:

а) f(u_k)< f(x_min(k));

б) f(u_k)>f(x_m(k));

в) f(x_min(k)) f(u_k) f(x_m(k));

Случай а): отражённая точка является точкой с наилучшим значением целевой функции. Поэтому направление отражение является перспективным и можно попытаться растянуть симплекс в этом направлении. Для этого строиться точка

V_k= C_k+b*(u_k-C_k), где b>1 –коэффициент расширения.

Если f(v_k)<f(u_k), то вершина x_max(k) заменяется на v_k, в противном случае на u_k и k-ая итерация заканчивается.

Случай б): в результате отражения получается новая точка u_k, которая, если заменить x_max(k), сама станет наихудшей. Поэтому в этом случае производится сжатие симплекса. Для этого строится точка v_k:

где 0<g<1 –коэффициент сжатия.

Если f(v_k)<min{f(x_max(k)),f(u_k)}, то вершина x_max(k) заменяется на v_k.

В противном случае вершинам x_i(k+1) (i=0,1,2,..,n) присваивается значение:

в) вершина x_max(k) заменяется на u_k, чем определяется набор вершин k+1-й итерации и k –ая итерация заканчивается.

Шаг 5.

Проверка сходимости.

то поиск минимума заканчивается и полагается

Опыт использования описанного алгоритма показывает, что целесообразно брать следующие значения параметров:

a=1, b=2, g=0.5.

Практическая часть:

1. Ознакомиться с алгоритмами многомерной оптимизации.

2. Написать программу, реализующую градиентный метод оптимизации с постоянным шагом. Найти точку минимума целевой функции f(x)=f(x⁽¹⁾, x⁽²⁾) с заданной точностью e указанными методами. Начальное приближение x₀ и точность e приводятся в условие задачи.

3. Написать программу, реализующую метод оптимизации согласно таблице вариантов. Найти точку минимума целевой функции.

4. Измерить количество итераций до нахождения минимума и время выполнения оптимизации. Построить траекторию промежуточных точек, получаемых на очередных шагах метода и сходящихся к точке минимума. Сравнить два метода оптимизации.

Варианты

Методы многомерной безусловной оптимизации (первого и нулевого порядков):

а) градиентный метод с постоянным шагом;

б) градиентный метод с дроблением шага;

в) метод наискорейшего спуска (указание метода одномерного поиска);

г) метод покоординатного спуска с постоянным шагом;

д) метод Гаусса-Зейделя (указание метода одномерного поиска);

е) эвристический алгоритм;

ж) овражный метод I;

з) овражный метод II;

к) метод конфигураций;

л) метод симплекса;

м) метод деформируемого симплекса.

Целевая функция f(x)=f(x₁, x₂) зависит от двух аргументов. Функция f(x) следующего вида:

f(x)=a*x₁+b*x₂+e^c*(x₁^{) +d*(x}₂⁾.

Содержание отчета

1. Цель работы.
2. Описание реализуемых алгоритмов
3. Распечатка текста программы с комментариями
4. Траектории промежуточных приближений.
5. Выводы по результатам выполнения лабораторной работы.

Поиск по сайту: