АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Поле экстремалей. Достаточные условия сильного экстремума

Читайте также:
  1. A) подписать коллективный договор на согласованных условиях с одновременным составлением протокола разногласий
  2. I Распад аустенита в изотермических условиях
  3. I. МЕСТО И ВРЕМЯ КАК ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
  4. I. Неблагоприятные условия для жизни бактерий создаются при
  5. I. Правила поведения в условиях вынужденного автономного существования.
  6. I. При каких условиях эта психологическая информация может стать психодиагностической?
  7. I. Психологические условия эффективности боевой подготовки.
  8. II. Условия признания гражданина инвалидом
  9. IV. Дом - Дом, окружающая среда, внешние и внутренние условия, родители
  10. IV. ТРЕБОВАНИЯ К УЧАСТНИКАМ И ИХ УСЛОВИЯ ДОПУСКА
  11. V. Финансовые условия участия в Конкурсе
  12. VI ПРИЧИНЫ, УСЛОВИЯ И ВТОРЖЕНИЕ

Изучим полученные в теореме 6.6.4 условия для нахождения геодезического наклона при помощи понятия "поле экстремалей".

Определение. Функцию X(t,u): Ω → Rn назовем полем экстремалей в области W, если:

1) для каждого (t,u)∈Ω выполняется включение (t, X(t,u))∈W;

2) для каждого фиксированного (t*,u)∈Ω функция xu(t) = X(t,u), определенная в окрестности точки t* удовлетворяет уравнению Эйлера для задачи (6.1.1);

3) существует (t*,u*)∈Ω, для которого функция xu*(t) удовлетворяет граничным условиям задачи (6.6.1).

4) для каждого (t,u)∈Ω матрица Xu(t,u)) обратима.

Если u=u(t) - кривая, график которой лежит в Ω, то x=x(t) = X(t, u(t)) - кривая с графиком, лежащим в области W. Обратно, если x(t) - кривая с графиком, лежащим в области W, то уравнение x(t) = X(t, u) неявным образом задает кривую u(t), график которой лежит в Ω.

Таким образом, мы собираемся сделать замену переменных x на переменные u.

f(x)= ∫[a; b] L(t, x(t),x'(t))dt = ∫[a; b] L(t, X(t,u(t)), Xt(t,u(t))+Xu(t,u(t))u'(t))dt =∫[a; b] F(t, u(t),u'(t))dt = g(u),

где F(t, u, u') = L(t, X(t,u), Xt(t,u)+Xu(t,u) u').

Пусть X(a, u1)=x1, X(b, u 2)=x2. Тогда задача (6.1.1) будет эквивалентна задаче

g(u) = ∫[a; b] F(t, u(t),u'(t))dt → extr, u(a)=u1, u(b)=u2, u ∈C1[a, b], u(t)∈Ω. (6.7.1)

Изучим вопрос о том, когда функция q=0 будет геодезическим наклоном для задачи (6.7.1).

Рассмотрим уравнение u'=q=0. Его решения u=const соответствуют кривым x(t) = X(t,u), для которых выполняется равенство x'(t) = Xt(t,u).

Проверим выполнение условий теоремы 6.6.4. Для этого прежде всего нужно убедиться, что уравнение u'=q=0 является первым интегралом уравнения Эйлера для задачи (6.7.1).

По определению поля экстремалей функции X(t,u) (при u=const) удовлетворяют уравнению Эйлера для задачи (6.1.1.), т.е. d/dt Lx'(t,X(t,u), Xt(t,u)) = Lx(t,X(t,u), Xt(t,u)).

Fu(t,u,u') = /∂u L(t, X(t,u), Xt(t,u)+Xu(t,u) u') = Lx(t, X(t,u), Xt(t,u)+Xu(t,u) u') Xu(t,u)+

+Lx'(t, X(t,u), Xt(t,u)+Xu(t,u) u') (Xtu(t,u)+Xuu(t,u) u');

Fu'(t,u,u') = /∂u' L(t, X(t,u), Xt(t,u)+Xu(t,u) u') = Lx'(t, X(t,u), Xt(t,u)+Xu(t,u) u') Xu(t,u).

d/dt {Fu'(t,u,q)} - Fu (t,u,q) = d/dt {Fu'(t,u,0)} - Fu (t,u,0) =

= d/dt {Lx'(t, X(t,u), Xt(t,u)) Xu(t,u)} - Lx(t, X(t,u), Xt(t,u)) Xu(t,u) - Lx'(t, X(t,u), Xt(t,u)) Xtu(t,u) =

= d/dt {Lx'(t, X(t,u), Xt(t,u))} Xu(t,u) - Lx(t, X(t,u), Xt(t,u)) Xu(t,u) =

=[ d/dt {Lx'(t, X(t,u), Xt(t,u))} - Lx(t, X(t,u), Xt(t,u)) ] Xu(t,u) = 0.

1) решения уравнения u' = q ≡ 0 имеют вид u=const и покрывают область Ω.

2) условие Вейерштрасса: E(t, u, u', q) = F(t, u, u') - F(t, u, q) - Fu'(t, u, q)(u' - q) ≥ 0, или

E(t, u, u', q) = F(t, u, u') - F(t, u, 0) - Fu'(t, u, 0) u' =

= L(t, X(t,u), Xt(t,u)+Xu(t,u) u') - L(t, X(t,u), Xt(t,u)) - Lx'(t, X(t,u), Xt(t,u)) Xu(t,u) u' ≥ 0.

Так как матрица Xuневырождена, DX=Xu(t,u) u' пробегает все значения из Rn. Условие

L(t, X(t,u), Xt(t,u)+DX) - L(t, X(t,u), Xt(t,u)) - Lx'(t, X(t,u), Xt(t,u)) DX ≥ 0

равносильно выпуклости функции L по переменной x' в точке (t, X(t,u), Xt(t,u)).

3) скобки Пуассона: для каждого u∈Ω найдется t0∈[a, b], для которого

[ui,uk](t0,u) = /∂uk{Fu '(i)(t0, u, q)} - /∂ui {F u '(k)(t0, u, q)} =0,

или /∂uk{ Lx ' (t0, X(t0,u), Xt(t0,u)) Xu(i)(t0,u)} - /∂ui { Lx '(t0, X(t0,u), Xt(t0,u)) Xu(k)(t0,u)} =0. (6.7.1)

Для выполнения условия (6.7.1) имеется ряд достаточных условий.

А) Центральное поле экстремалей: существует t0∈[a, b], для которого X(t0,u)≡C.

Б) существует t0∈[a, b], для которого Lx ' (t0, X(t0,u), Xt(t0,u))≡C..

Доказательство. А) Если X(t0,u)≡C, то Xu(k)(t0,u)≡0, поэтому [ui,uk](t0,u) = 0.

Б) Если Lx ' (t0, X(t0,u), Xt(t0,u))≡C, то [ui,uk](t0,u) = /∂uk{ С Xu(i)(t0,u)} - /∂ui { С Xu(k)(t0,u)} =

= С /∂uk /∂ui X(t0,u) - /∂ui/∂uk X(t0,u) = 0.

Таким образом, если в задаче (6.1.1) лагранжиан L является выпуклой по переменной x' функцией, в области W существует поле экстремалей, включающее допустимую экстремаль x* и удовлетворяющее условию А или Б, то x* является решением задачи (6.1.1) в области W.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)