АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Линейные и Квазилинейные уравнения частных производных

Читайте также:
  1. A) линейные
  2. I I. Тригонометрические уравнения.
  3. V2: ДЕ 11 - Векторные пространства. Линейные операции над векторами
  4. V2: ДЕ 4 – Линейные отображения. Линейные операции над матрицами
  5. V2: ДЕ 5 - Линейные отображения. Умножение матриц
  6. V2: ДЕ 54 - Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
  7. V2: ДЕ 57 - Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения
  8. V2: ДЕ 6 - Линейные отображения. Определители второго порядка
  9. V2: Применения уравнения Шредингера
  10. V2: Уравнения Максвелла
  11. VI Дифференциальные уравнения
  12. Абстрактные линейные системы

Линейные неоднородные уравнения или квазилинейные уравнения первого порядка в частных производных называется уравнение вида

( + ( + ( = z( (8.1)

Это уравнение линейное относительно производной но может быть изменено относительно не известной z.

Если правая часть 0 а коэффициент не зависит от z, то уравнение (8.1) называется линейно однородным

Рассмотрим более подробно квазилинейные уравнения с 2-умя независимыми переменными

P (x, y, z) + Q (x, y, z) = R (x, y, z) (8.1a)

Функцию P, Q, R будем считать не прерывной в рассматриваемой области изменённой переменой и не обращающейся в ноль одновременно

Рассмотрим непрерывное поле :

= P (x, y, z) + Q (x, y, z) 1 + n (x, y, x)

Векторные линии поля, то есть линии, касательно которых в каждой точке имеют направления

= dx + dy + dz,

- =

Поверхность целиком содержащая векторные линии, или хотя бы одну общую точку с поверхностью называется векторной поверхностью

Векторные поверхности характерны тем, что вектор направлен по нормали к поверхности. В точке поверхность ортогональна полю , то есть:

( * ) =0 (8.2)

Если векторная поверхность

+ -

и условие (8.2) принимает вид:

P (x, y, z) * + Q (x, y, z) = R (x, y, z) (8.3)

Если векторная поверхность задаётся:

U (x, y, z) = 0

+ -

И уравнение (8.2) приобретает вид:

P (x, y, z) * + Q (x, y, z) + R (x, y, z) = (8.4)

Так как векторные поверхности могут быть составлены из векторных линий

То интегрирование уравнения (8.3) или (8.4) сводиться к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений векторных линий

Составим систему дифференциальных уравнений векторных линий:

- = (8.5)

из 2-ух параметрических семейств векторных линий

Называется характеристиками уравнения (8.3) или (8.4) произвольным способом параметрического семейства

Устанавливая какую – нибудь зависимость Ф () = 0 тогда параллелограмм и

Исключение из системы:

Ф- произвольная функция (непрерывная)

Найдем интеграл квадратного уравнения (8.3) зависящего от произвольной функции

Если требуется найти не произвольный вектор поверхностного поля

= P (x, y, z) + Q (x, y, z) + R (x, y, z)

А поверхностный проход через заданную линию определяется уравнением

То функция (8.6) уже не будет произвольной, определяемая присутствием исключений x, y, z из системы

(x, y, z) =

(x, y, z) =

Которые должны одновременно удовлетворять в задней линии =0, =0

Через которую мы проводим характеристики определяемые уравнениями:

Заметим, что задание станет неопределяемым если задание меньше (x, y, z) = 0

(x, y, z) = 0 является характеристикой, т.к. в этом случае эту линию можно включить в различные однопараметрические семейства характерные тем самым получим различные интегралы появляющееся через эту линию.

Система дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка

Во многих областях науки встречаются системы величин, которые связаны между собой не одним, а сразу несколькими соотношениями, рассматривается задача Коши для систем из двух уравнений с двумя начальными условиями

+ 8 =0

+ 2 =0

∞ < x < +∞

0 < t < ∞

(x, 0) = f(x)

(x, 0) = d(x)

Эта задача может соответствовать определению давления и плотности , как формула u пространствует координатам x и времени t

(x, 0) = f(x) - давление

(x, 0) = d(x) - плотность

x - координат

t – время

Запишем систему уравнений в матричной форме

+ =

+ A = (8.7)

A =

=

=

=

Введение новой неизвестной функции v = с помощью преобразования u = pv, где p- матрица, по столбцам которой стоят собственные векторы матрицы А.

Собственные числа матрицы А являются корнями уравнения:

det (A – λ E)=0

или = 0 ó – 16 = 0 = 4 = - 4

Найдём собственный вектор соответствующий собственному значению = 4 из системы

(A – E) () = 0

= =1

=2 =>

P=

= - 4

= = 1,

= - 2

P=

* = det p= 4

AP = = = = B

Оказалось, что после замены переменных по формуле u=pv для определения v получится очередная простая система 2 уравнения относительно новых , после того по формуле pv находится искомая формула но сначала вычислим, как выглядит система для определения v продифференцируем обе части соотношения u=pv получаем:

= p

= p (8.8)

Теперь подставим соотношения (8.8) в системе:

+ A = 0

+ A│ = 0 │*

+ A =0

+ B = 0 (8.9)

Раньше мы уже видели, что B

Заменим (8.9) в развернутой форме:

(8.10)

Получилась система из 2х не связанных уравнений которые решаются независимо их решениями будут:

=

x- 4t =

= ϕ (x-4t)

: =

x-+4t =

= ϕ (x+4t)

Для получения общего решения нужно выполнить по формуле: u=pv

= =

(x, t) =

(x, t) =

Решается задание Коши:

│2

Φ(x) = (f(x)+2y(x))

Ψ(x)= (2f(x)- f(x)) =>

Ответ:

(x, t) = (f(x-4t)+2y(x-4t))- (2y(x+4t)-f(x+4t))

(x, t) = (2y(x-4t)-f(x-4t)+ (2d(x+4t)-f(x+4t))

Замечание: часто численные методы ориентируются на решение систем уравнений, а значит многие программы для компьютера написаны так чтобы решить систему уравнений первого порядка, поэтому приходится преобразовывать свое уравнение высшего порядка в систему первого порядка.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.014 сек.)